Logik Beweis und Inklusion

06.05.2014, 00:46

logikling

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Logik Beweis und Inklusion

Hey JO

Ich bin da grade an einer Aufgabe:

Beweise das:

$\begin{eqnarray*} A\subset B A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow A \subset (B \cup C) \end{eqnarray*}$

Und ich soll rausfinden welche der implikationen zutrifft, wenn die doppelimplikation falsch ist.

Die bedeutung von Inklusionen ist ja, z.B. beim ersten Term, x ist in A und in B. Mehr sagt mir das jetzt leider auch nix. Ist das "und" hier ein logisches "und"??

Ich hab mal in der Lösung nachgeschaut und dort steht:
Die rechte Seite ist wahr weil

$\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \subset C \Rightarrow A \subset B\cap C\subset A\cup B \end{eqnarray*}$

Soviel zum ersten Teil, ich hab keine Ahnung wie die da drauf gekommen sind.

LG

Zwei Beiträge zusammengefügt, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

Das erste soll natürlich $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \subset C \end{eqnarray*}$ heissen, sry.

06.05.2014, 16:09

bijektion

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Was soll den $\begin{eqnarray*} A \subset BA \end{eqnarray*}$ bedeuten?

06.05.2014, 16:28

logikling

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Hallo

Wink

Das hab ich unten noch verbessert smile

smile

Das was unter dem von Steffen steht kommt links neben den Doppelpfeil !

Also noch mal:

$\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \subset C \Leftarrow \Rightarrow A \subset (B \cup C) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht wie ich Beweise mit inklusion mache verwirrt

verwirrt

, also ich weiß nur das wenn x in B ist und B eine Teilmenge von A ist, dann ist x auch in A, hilft mir das ?

Gruß

06.05.2014, 16:36

bijektion

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Du solltest immer eine Richtung beweisen.

Also $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ : Nehm an es ist $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \subset C \end{eqnarray*}$ . Sei jetzt $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , was gilt dann für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2014, 17:00

logikling

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Dann müsste gelten $\begin{eqnarray*} (x\in B \cup x \in C) \end{eqnarray*}$ oder?

Gruß

06.05.2014, 17:04

bijektion

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Es gilt $\begin{eqnarray*} x \in B \wedge x \in C \end{eqnarray*}$ .

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06.05.2014, 17:14

logikling

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Ahso, ja ohhps, klar, es gilt: $\begin{eqnarray*} (B \cup C) \end{eqnarray*}$ und so mit durch logik symbole und definition ausgedrückt : $\begin{eqnarray*} (x\in B \wedge x \in C) \end{eqnarray*}$ ok, gecheckt !

Gruß

06.05.2014, 17:16

bijektion

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Das gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ; damit folgt sofort die Behauptung. Alles Klar?

06.05.2014, 17:45

logikling

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Hm wieso folgt denn daraus jetzt die Behauptung? Muss ich nicht die linke Seite in die Rechte umformen?

Gruß
smile

smile

06.05.2014, 17:47

bijektion

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Wenn für alle $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ stets auch $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ gilt, dann wird wohl $\begin{eqnarray*} A \subset B \cup C \end{eqnarray*}$ gelten. Ist dir das nicht klar, warum das gilt?

06.05.2014, 18:01

logikling

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Halt moment das stimmt nicht, es gilt dann: $\begin{eqnarray*} (B \cup C) \end{eqnarray*}$ ist dann mit Definition $\begin{eqnarray*} (x\in B \vee x\in C) \end{eqnarray*}$ . Ok also Mengentechnisch kann ich mir vorstellen warum das richtig ist, weil x ja eh in B und C und in der Vereinigung ist. Geht es noch algebraisch, durch umformen?

Gruß

06.05.2014, 18:02

bijektion

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Zitat:

Halt moment das stimmt nicht, es gilt dann: $\begin{eqnarray*} (B \cup C) \end{eqnarray*}$ ist dann mit Definition $\begin{eqnarray*} (x\in B \vee x\in C) \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt, aber was wir haben ist noch stärker smile

smile

Zitat:

Geht es noch algebraisch, durch umformen?

Wie?

06.05.2014, 18:15

logikling

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Gibt es denn ein logisches Symbol für die Inklusion? Oder eine entsprechung davon? Gruß
smile

smile

06.05.2014, 18:19

bijektion

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Meinst du sowas: $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2014, 18:22

logikling

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Hhm, nee glaub nicht, ist auch egal Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank für die Hilfe Freude

Freude

byebye

Wink

06.05.2014, 18:28

bijektion

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Kein Problem Wink

Wink

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