Körper F_3 - Polynome

06.05.2014, 02:10

akamanston

Körper F_3 - Polynome

Gute Nacht=)

Nun.

Sei $\begin{eqnarray*} F_{3} \end{eqnarray*}$ körper mit 3 elemente.
Sei $\begin{eqnarray*} F_{3} \end{eqnarray*}$ die menge aller plynome mit koeffizienten in $\begin{eqnarray*} F_{3} \end{eqnarray*}$ .

addition und multiplikation in $\begin{eqnarray*} F_{3}[x] \end{eqnarray*}$ sind wie üblich aber immer mod3.

a: schreiben sie alle plynome in $\begin{eqnarray*} F_{3}[x] \end{eqnarray*}$ mit höchstens grad2.

jetzt wage ich mich mal ganz weit aus dem fenster^^ und schreibe folgendes als mögliche lösung.
$\begin{eqnarray*} a_{0} +a_{1} x+a_{2}x^{2} \end{eqnarray*}$
ist das richtig?

b: zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} x^{2} +1 \end{eqnarray*}$ unteilbar in $\begin{eqnarray*} F_{3}[x] \end{eqnarray*}$ ist. d.h. kann nicht als produkt von zwei polynomen von grad $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ beschrieben werden.
hm, in analysis würde sich die aufgabe nach induktion anhören^^

hoffe mir kann jemand helfen

06.05.2014, 07:27

ollie3

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RE: Körper F_3 - Polynome
hallo,
bei a) wird verlangt, dass du alle polynome einzeln aufschreibst, deine lösung ist ja
allgemein, aber a_0, a_1 und a_2 müssen ja aus F_3 sein.

Bei b) kann man sich überlegen, dass die beiden polynome ja nur linear sein können, also
x^2+1= (x-a)(x-b), dann wären ja a und b die nullstellen, und du kannst ja probieren, ob
x^2+1 überhaupt nullstellen in F_3 haben kann. Augenzwinkern

gruss ollie3

06.05.2014, 20:57

akamanston

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hi, ok danke für die hilfe.

dann macht das modulo 3 bei der a auch sinn.

$\begin{eqnarray*} 0 + 1x+2x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 2x+1x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + 0x+2x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + 2x+0x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 + 1x+0x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 + 0x+1x^{2} \end{eqnarray*}$

gibt es auch eien übliche bezeichnung solcher gleichungen? irgendwie $\begin{eqnarray*} F_{3}(1,0,2)= \end{eqnarray*}$
oder so?

zur b.

heißt das, dass teil bare polynome mindestens eine nullstelle haben müssen? die aufgabe passst doch viel bessser in analysis rein. ja x^2+1 hat keine nullstellen. das gegebene polynom ist also ein nichtlineares? wie beweise ich denn, dass ich das polynom nicht als produkt darstellen kannn

07.05.2014, 18:17

akamanston

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zur b nochmal.
$\begin{eqnarray*} x^{2} +1 \end{eqnarray*}$

dann kann ich allgemeine schreiben.
$\begin{eqnarray*} (ax+b)(cx+d) \end{eqnarray*}$ (niht wie du geschrieben hast mit "minus" , oder?)

ausmultipliziert ergibt das:

$\begin{eqnarray*} acx^{2}+(ad+bc) +bd \end{eqnarray*}$

dann kann ich sagen, dass

$\begin{eqnarray*} ac=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ad+bc=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bd=1 \end{eqnarray*}$

ergeben muss. stimmt das?
nun haben wir (bei einem anderen beispiel) die elmente irgendwie aufgeschrieben^^
in etwas so.

$\begin{eqnarray*} (a,b,c,d) =(1,1,1,2) \Rightarrow 1x2+1x1=3\equiv 0 \end{eqnarray*}$
und null heißt - schelcht. also schlecht im sinne von "ist nicht teilbar" - denke ich. aber ich weiß nicht wie ich meine werte handeln soll.

anschließend ist noch eine frage, welche polynome von grad 2 in der tabelle sind teilbar in F_3.
welche tabelle ist gemeint?
ich habe spontan gedacht, dass x(1+x) und x(2+x) und 2+x teilbar sind.

07.05.2014, 19:03

ollie3

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hallo,
zu a) in deiner liste fehlen leider noch sehr viele polynome, z.B. 1+x+x^2
und viele andere, man kann sich überlegen, dass es insgesamt 27 polynome
geben muss (27=3*3*3), denn a_0, a_1 und a_2 können ja jeweils 3 verschiedene werte annehmen.
zu b) du hast ja erkannt, das x^2+1 in F3 keine nullstellen hat, und wenn
man ein polyniom 2.grades als produkt schreiben will, bleibt nur die mögliichkeit
2 lineare faktoren, und die haben ja immer eine nullstelle, also kann man x^2+1
nicht in 2 linearfaktoren zerlegen. Das ist schon allles.
gruss ollie3

07.05.2014, 22:17

akamanston

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Zitat:

Original von ollie3
zu a) in deiner liste fehlen leider noch sehr viele polynome, z.B. 1+x+x^2
und viele andere, man kann sich überlegen, dass es insgesamt 27 polynome
geben muss (27=3*3*3), denn a_0, a_1 und a_2 können ja jeweils 3 verschiedene werte annehmen.

zählt da 0 0 0 oder 0 1 0 auch dazu? mit denen hätte ich die 27, jetzt macht auch die tabelle einen sinnn, bevor ich nämlich alle gleichungen hinschreiben, fertige ich lieber eine tabelle mit a0 a1 a2 an. nun frage ich mich wie ich bei so vielen relativ schnell erkenne ob sie teilbar sind. ich kann doch nicht bei jeder abchekcen ob man sie als produkt darstellen kann.

zur b nochmal. in der angabe steht ja schon "d.h. kann nicht als produkt von zwei polnomen von grad >=1 beschrieben werden. und ich bzw du sagst ja, weil die gleichung immer >0 ist, hat sie keine nullstelle --> also nicht teilbar. aber ich glaube ich muss das rechnerisch zeigen. weil ja in der angabe schon steht, dass es nicht als produkt darstellbar ist. was meinst? deshalb hab ich das mit den ac=1 etc geschrieben

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