"Die Funktion e^x wächst stärker als jede Potenzfunktion x^k"

06.05.2014, 14:25

TSaW

"Die Funktion e^x wächst stärker als jede Potenzfunktion x^k"

Meine Frage:
Hallo Leute,

wir bekamen von unserem Lehrer folgende Behauptung aufgestellt:
Für alle natürlichen (sogar alle reellen) Zahlen k gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^k}{e^x} = 0 \end{eqnarray*}$

Die Behauptung kann laut Arbeitsblatt mit diesen vier Beweisen begründet werden:

1. Kurze Wertetabelle (bloß plausibel, nicht allgemeingültig; Problem: Taschenrechner)

2. Man untersucht exemplarisch das Randverhalten einer Funktion, z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{e^x} \end{eqnarray*}$

3. Man untersucht das Randverhalten der Schar

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^k}{e^x} \end{eqnarray*}$

4. Man führt einen (möglichst einfachen) streng formalen Beweis

Meine Ideen:
Man soll diese Beweise 2 und 3 mit Mitteln der Kurvendiskussion "verwortlicht" beweisen. Nun bin ich gerade bei 2 und 3.
Also ich frage mich wie ich denn nun exemplarisch das Randverhaltnis untersuchen soll?! Ich kann doch einen Wert für x nur vergleichen, wenn ich zum, beispielsweise, x-Wert 1 einen Vergleichswert heranziehe. Etwa x = 0,5 und x = 2 (wenn ich das Randverhalten x Richtung positiv unendlich betrachten möchte). Sehe ich das zu engstirnig oder was? Kann man ohne Werte ein Randverhalten untersuchen und dies dann "verwortlichen" ? Ich hoffe dies ist jetzt nicht alles zu wirr geschrieben

Vielen Dank im Voraus. Tom

06.05.2014, 14:30

bijektion

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Exemplarisch soll wohl bedeuten das man nur den Fall $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ untersucht.

Zitat:

Ich kann doch einen Wert für x nur vergleichen, wenn ich zum, beispielsweise, x-Wert 1 einen Vergleichswert heranziehe.

Dann nehm doch zwei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte, die irgendwie zusammenhängen, z.B. $\begin{eqnarray*} x_1 >0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=x_1+10 \end{eqnarray*}$ .

06.05.2014, 14:45

TSaW

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Also in Worten: Untersucht man das Randverhalten der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{e^x} \end{eqnarray*}$

bzw.: die Funktionsschar

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^k}{e^x} \end{eqnarray*}$

in Richtung x unendlich so stellt man fest, dass die Funktionswerte Richtung 0 gehen. Der Grund liegt in der Beschaffenheit des Nenners ( $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ), da dieser immer (expotential) größer ist als der Zähler.

Kann man das sagen?

06.05.2014, 14:50

bijektion

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Das ist zwar nicht wirklich mathematisch bedgründet, aber ja.

06.05.2014, 14:55

TSaW

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Zitat:

Original von bijektion
Das ist zwar nicht wirklich mathematisch bedgründet, aber ja.

Denn ist es kein Beweis (oder?)!

06.05.2014, 15:01

bijektion

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Zitat:

Denn ist es kein Beweis (oder?)!

Nein, nicht wirklich.

06.05.2014, 15:04

TSaW

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und was ist mit dem streng formalen Beweis... Wie fängt man da an?

06.05.2014, 15:09

bijektion

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Du willst zeigen, dann $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ mit großem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schneller wächst als $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ mit einem festen $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Das heißt das $\begin{eqnarray*} \frac{n^k}{e^n} \end{eqnarray*}$ kleiner als jede Vorgegebene Zahl $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \frac{n^k}{e^n}<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt musst du nur noch ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ wählen und bist fertig.

06.05.2014, 15:29

frank09

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RE: "Die Funktion e^x wächst stärker als jede Potenzfunktion x^k"
Das wird nicht funktionieren, weil man Gleichungen des Typs
$\begin{eqnarray*} e^n=n^k \end{eqnarray*}$ nicht nach n auflösen kann.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^k}{e^x} = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty } \frac{e^x}{x^k} = \infty \end{eqnarray*}$

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{x^k}-x \end{eqnarray*}$ streng monoton wächst für alle x>n, indem du ableitest.

06.05.2014, 15:31

bijektion

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Zitat:

Das wird nicht funktionieren, weil man Gleichungen des Typs $\begin{eqnarray*} e^n=n^k \end{eqnarray*}$ nicht nach n auflösen kann.

Warum sollte man das machen?

06.05.2014, 15:39

TSaW

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Was soll ich vor allen Dingen ableiten?

06.05.2014, 15:52

bijektion

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Ich will vielleicht noch schnell erklären wie ich es gemacht hätte, dann kann frank09 übernehmen und seine Methode vorstellen.

Es ist ja $\begin{eqnarray*} e^n=\sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{n^j}{j!} \end{eqnarray*}$ , dann haben wir auch $\begin{eqnarray*} e^n=n^k\cdot\sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{n^{j-k}}{j!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{n^{j-k}}{j!} \geq \sum\limits_{j=k}^{\infty} \frac{n^{j-k}}{j!} \end{eqnarray*}$ .
Das alles einsetzen liefert $\begin{eqnarray*} \frac{x^k}{e^n}=\frac{x^k}{\sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{n^j}{j!}}=\frac{n^k}{n^k\cdot\sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{n^{j-k}}{j!}}=\frac{1}{\sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{n^{j-k}}{j!}} \leq \frac{1}{\sum\limits_{j=k}^{\infty} \frac{n^{j-k}}{j!}} \end{eqnarray*}$ .

Das noch geeignet abschätzen (was jetzt kein Problem mehr ist) und man ist fertig.

06.05.2014, 16:21

frank09

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Der Beweis ist einwandfrei und wohl auch der "klassische".
Reihenentwicklungen werden in der Schule aber normalerweise nicht behandelt.
Mein Vorschlag:
Sei
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{e^x}{x^k}-x \end{eqnarray*}$
Zeige, dass g'(x)>0 für alle x>n und damit, dass g(x) streng monoton steigt.
Also
$\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{x^k}>x, \forall x>n \end{eqnarray*}$
und wegen
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x = \infty \end{eqnarray*}$
ist die Behauptung bewiesen.

06.05.2014, 16:24

bijektion

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Zitat:

Reihenentwicklungen werden in der Schule aber normalerweise nicht behandelt.

Das mag sein, ich bin damit auch raus Wink

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