Existenz Primzahl p: n < p < n!

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Vezzril Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz Primzahl p: n < p < n!
Hallo,

Zu zeigen ist, dass für alle natürlichen Zahlen n > 2 eine Primzahl p existiert sodass n < p < n!.

Hierzu habe ich auch schon eine Beweisidee und bitte um mögliche Korrektur smile

Fallunterscheidung:

Betrachte die zahl (n!-1)
1. Fall) (n!-1) ist eine Primzahl. wegen ist die Behauptung gezeigt, denn n > 2 laut Angabe. D.h. die gesuchte Primzahl ist (n!-1).

2. Fall) (n!-1) ist keine Primzahl. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik gibt es nun aber mindestens einen Primteiler von (n!-1).
Angenommen einer der Primteiler der Zahl (n!-1) ist p mit . Das heißt: und damit teilt p auch n!, also:

Das ist aber ein Widerspruch, denn aus und (die zweite Teilbarkeit ergibt sich aus der angenommenen Primteilereigenschaft von n!-1): => .
Da ein Primteiler als Primzahl die 1 nicht teilen kann muss also jeder Primteiler von (n!-1) größer als n sein.

Wenn damit schon alles gezeigt ist folgt auch hier:

.


Nun wäre ich sehr dankbar für mögliche Korrekturen u.ä. ;-)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das passt.

Aber du brauchst die Fallunterscheidung gar nicht.

Du zeigst ja einfach: Jeder Primteiler von ist größer als . Das zeigt die Behauptung, völlig egal ob selbst prim ist oder in ganz viele Primfaktoren zerfällt.
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