Existenz Primzahl p: n < p < n! |
06.05.2014, 16:54 | Vezzril | Auf diesen Beitrag antworten » |
Existenz Primzahl p: n < p < n! Zu zeigen ist, dass für alle natürlichen Zahlen n > 2 eine Primzahl p existiert sodass n < p < n!. Hierzu habe ich auch schon eine Beweisidee und bitte um mögliche Korrektur Fallunterscheidung: Betrachte die zahl (n!-1) 1. Fall) (n!-1) ist eine Primzahl. wegen ist die Behauptung gezeigt, denn n > 2 laut Angabe. D.h. die gesuchte Primzahl ist (n!-1). 2. Fall) (n!-1) ist keine Primzahl. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik gibt es nun aber mindestens einen Primteiler von (n!-1). Angenommen einer der Primteiler der Zahl (n!-1) ist p mit . Das heißt: und damit teilt p auch n!, also: Das ist aber ein Widerspruch, denn aus und (die zweite Teilbarkeit ergibt sich aus der angenommenen Primteilereigenschaft von n!-1): => . Da ein Primteiler als Primzahl die 1 nicht teilen kann muss also jeder Primteiler von (n!-1) größer als n sein. Wenn damit schon alles gezeigt ist folgt auch hier: . Nun wäre ich sehr dankbar für mögliche Korrekturen u.ä. ;-) |
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06.05.2014, 17:10 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das passt. Aber du brauchst die Fallunterscheidung gar nicht. Du zeigst ja einfach: Jeder Primteiler von ist größer als . Das zeigt die Behauptung, völlig egal ob selbst prim ist oder in ganz viele Primfaktoren zerfällt. |
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