Umkehrfunktion (Frage bezüglich monotonie)

06.05.2014, 19:20

Pöse

Auf diesen Beitrag antworten »

Umkehrfunktion (Frage bezüglich monotonie)

Grüße liebe Mathe-Profis!

Folgendes Beispiel gilt es zu lösen:

vowi.fsinf.at/wiki/TU_Wien:Analysis_UE_%28diverse%29/%C3%9Cbungen_SS13/Beispiel_121

(ich darf hier keine URLs posten, das "oder" ist eindeutig inklusive unglücklich

unglücklich

- der Link tut aber keinem was!)

Nun, ich habe mich dran gemacht und tatsächlich versucht das Beispiel selbst zu lösen.

Die Stetigkeit ist tatsächlich trivial, wie der angegebene Satz zeigt.

Der Monotonie"-Beweis" ist mir jedoch etwas suspekt.

Ich selbst habe versucht die erste Ableitung zu bilden und wenn g'(x) immer größer als 0 wäre, so hätte ich die Monotonie (als monoton steigend) bewiesen.

Mir ist der Ansatz hier völlig unklar. (Falls mir das jemand näher bringen könnte, würd ich mich auch freuen)

Und jetzt wollte ich eben fragen ob meine Herangehensweise richtig ist.

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{7 * (\sqrt{x} + 1)^6}{2*\sqrt(x)} \end{eqnarray*}$

Den Rest hab ich dann wieder genauso gelöst.

Bin für jedwede Hilfe dankbar.

Schönen Abend noch,
Pöse

06.05.2014, 21:06

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Der Monotonie"-Beweis" ist mir jedoch etwas suspekt.

Es wird doch gezeigt, dass aus $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{x})^7<(1+\sqrt{y})^7 \end{eqnarray*}$ direkt $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ folgt. Nichts anderes bedeutet es, das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ monoton ist, tatsächlich ist deshalb auch die Ableitung größer null, da ja der Differenzenquotient betrachtet wird.
Wenn ihr Differenzierbarkeit noch nicht definiert habt, so darf dieses Hilfsmittel aber nicht benutzt werden, und daherist wohl dieser Weg gewählt worden.

06.05.2014, 21:19

Pöse

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir!

Mir ist die Rechnung an sich schon klar. Diese ist konsistent. Was mir nicht klar ist: woher kommt der rechte Teil der Ungleichung? Der wird für mich praktisch aus dem Ärmel geschüttelt.

Also konkret $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{y})^7 \end{eqnarray*}$ , woher kommt das bitte und inwiefern hilft mir das?

Mir ist schon klar, dass g(x) = y, aber mir ist trotzdem nicht klar, wie mir das alles helfen soll und wo da der Beweis steckt.

06.05.2014, 21:24

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt nirgendwo her, das setzt man einfach.
Man sieht irgendwie an der Funktion das sie scheinbar monoton wachsend ist, dann muss ja, wenn $\begin{eqnarray*} g(x)<g(y) \end{eqnarray*}$ ist, irgendwie $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ "weiter rechts liegen" als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , und das zeigt man ja auch, denn es folgt $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ .

Man könnte es auch in die andere Richtung machen: Sei $\begin{eqnarray*} a>b>0 \end{eqnarray*}$ . Wie verhält sich dann $\begin{eqnarray*} g(a) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} g(b) \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2014, 21:25

Pöse

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion
Das kommt nirgendwo her, das setzt man einfach.
Man sieht irgendwie an der Funktion das sie scheinbar monoton wachsend ist, dann muss ja, wenn $\begin{eqnarray*} g(x)<g(y) \end{eqnarray*}$ ist, irgendwie $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ "weiter rechts liegen" als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , und das zeigt man ja auch, denn es folgt $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ .

Man könnte es auch in die andere Richtung machen: Sei $\begin{eqnarray*} a>b>0 \end{eqnarray*}$ . Wie verhält sich dann $\begin{eqnarray*} g(a) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} g(b) \end{eqnarray*}$ ?

Ist dieses y unser y aus g(x) = y? oder eine neue Variable?

06.05.2014, 21:27

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist dieses y unser y aus g(x) = y? oder eine neue Variable?

Neue Variable, kannst auch aus $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{x})^7<(1+\sqrt{z})^7 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x<z \end{eqnarray*}$ folgern.

Anzeige

06.05.2014, 21:37

Pöse

Auf diesen Beitrag antworten »

Dank dir, da lag das größte Problem.

Bin halt doch zu sehr Programmierer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Achso, der Vollständigkeit halber... dann wäre g(a) > g(b) Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2014, 21:41

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Bin halt doch zu sehr Programmierer Augenzwinkern

Dann nach jedem Satz einmal init aufrufen

Augenzwinkern

Big Laugh

Zitat:

Achso, der Vollständigkeit halber... dann wäre g(a) > g(b) Augenzwinkern

Ja, richtig.

Zitat:

Dank dir, da lag das größte Problem.

Kein Problem smile

smile

06.05.2014, 21:44

Pöse

Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe.

Aber genau wegen solcher Sachen wie "das setzt man einfach" sind mir gewisse Vorgänge innerhalb der Mathematik suspekt und nicht verständlich. Wenn ich etwas beweisen muss, dann versuch ich das immer mit den bisher vorhandenen Bausteinen bzw. irgendwelchen Theoremen oder Axiomen.

Obwohl mir die Logik im Studium sehr lag, sind mir solche Beweise irgendwie nicht geheuer. Keine Ahnung.

Das kommt mir oft einfach so vor wie "Ich mach mir die Welt, widde widde wie sie mir gefällt." Wenn einem dann jemand die Augen öffnet ist es meist eh logisch. Big Laugh

Big Laugh

06.05.2014, 21:46

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

"Ich mach mir die Welt, widde widde wie sie mir gefällt."

In gewissen Grenzen stimmt das ja auch, nur erfüllt sie, wenn alles richtig läuft, auch immer noch alles.

Zitat:

Wenn ich etwas beweisen muss, dann versuch ich das immer mit den bisher vorhandenen Bausteinen bzw. irgendwelchen Theoremen oder Axiomen.

Das ist auch gut so, und für das wirkliche weiterkommen sicher auch nützlicher smile

smile

06.05.2014, 21:54

Pöse

Auf diesen Beitrag antworten »

Also um das nochmal zusammen zu fassen (falls ich an die Tafel muss)

Zuerst teile ich mir meine Funktion in zwei Teilfunktionen auf. Jetzt weiß ich, wenn die beiden Teilfunktionen (per Addition verknüpft), jeweils stetig sind, dann ist auch die Gesamtfunktion stetig.

Bei uns ist das der Fall, denn:

$\begin{eqnarray*} g(x) = (1 + \sqrt{x})^7. g(x) = f(x) + h(x) -> f(x) = 1, h(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ (Und das ganze eben zur siebten Potenz, wobei das nichts an der Stetigkeit ändert, weil hoch 7 einfach nur größer wird, sonst aber nix macht (Reicht diese Erklärung? Bzw. macht sie so Sinn? [In meinem wirren Kopf tut sie das!] Bedenke: Ich bin kein Mathematiker Big Laugh

Big Laugh

)

Jetzt prüfen wir auf Monotonie, denn wenn die Funktion stetig und streng monoton ist, dann gibt es eine Umkehrfunktion für sie.

Dafür schauen wir uns die Funktion einfach mal an.

Nun ja, der Struktur nach zu urteilen liegt hier Monotonie vor, denn unser Definitionsbereich geht von 0 bis Unendlich, damit wächst unser x praktisch nur bzw. man kann immer ein größeres x finden. (Ausdrucksweise... hm, kA wie ich das besser formulieren soll.)

Dadurch nehmen wir an, es gibt eine Funktion g(z) für die gilt:

g(x) < g(z)

Und bis auf die Variable sieht g(z) gleich aus wie g(x). Dann können wir umformen und x < z -> Monotonie bewiesen. (Der Schritt erscheint mir noch immer wie Hexenwerk... ich mein, wenn man sich die Funktion anschaut, macht es ja absolut Sinn, nur ist das irgendwie kein "Beweis" im alltäglichen Sprachgebrauch. Aber gut, ich will da nicht drauf rumreiten, ich hab das so zu akzeptieren.

Danach setzt man eben einfach y = g(x) und formt um bis x auf einer Seite steht, dann hat man die Umkehrfunktion gefunden.

(Wobei dieses y ist ja jetzt wieder ein anderes, als das, was der werte Kollege weiter oben setzte, ja? Das ist wieder ein neuer init()-call Augenzwinkern

Augenzwinkern

?)

Danke nochmal!

06.05.2014, 22:25

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zuerst teile ich mir meine Funktion in zwei Teilfunktionen auf. Jetzt weiß ich, wenn die beiden Teilfunktionen (per Addition verknüpft), jeweils stetig sind, dann ist auch die Gesamtfunktion stetig.

Richtig.

Zitat:

(Und das ganze eben zur siebten Potenz, wobei das nichts an der Stetigkeit ändert, weil hoch 7 einfach nur größer wird, sonst aber nix macht (Reicht diese Erklärung? Bzw. macht sie so Sinn?

Das ist einfach nur sieben mal angewandt, das produkte stetiger Funktionen stetig sind.

Zitat:

Nun ja, der Struktur nach zu urteilen liegt hier Monotonie vor, denn unser Definitionsbereich geht von 0 bis Unendlich, damit wächst unser x praktisch nur bzw. man kann immer ein größeres x finden. (Ausdrucksweise... hm, kA wie ich das besser formulieren soll.)

Monotonie liegt vor wenn aus $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} f(x)>f(y) \end{eqnarray*}$ folgt, mit dem Definitionsbereich hat das herzlich wenig zutun, der ist der gleiche wie bei $\begin{eqnarray*} h: (0,\infty) \to \mathbb{R}^+ ,x \mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ fällt monoton.

Zitat:

Und bis auf die Variable sieht g(z) gleich aus wie g(x). Dann können wir umformen und x < z -> Monotonie bewiesen

So ziemlich.

Zitat:

anach setzt man eben einfach y = g(x) und formt um bis x auf einer Seite steht, dann hat man die Umkehrfunktion gefunden.

Korrekt.

Zitat:

Das ist wieder ein neuer init()-call Augenzwinkern ?)

Freude

Gerne

Wink

06.05.2014, 22:34

Pöse

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

Nun ja, der Struktur nach zu urteilen liegt hier Monotonie vor, denn unser Definitionsbereich geht von 0 bis Unendlich, damit wächst unser x praktisch nur bzw. man kann immer ein größeres x finden. (Ausdrucksweise... hm, kA wie ich das besser formulieren soll.)

Monotonie liegt vor wenn aus $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} f(x)>f(y) \end{eqnarray*}$ folgt, mit dem Definitionsbereich hat das herzlich wenig zutun, der ist der gleiche wie bei $\begin{eqnarray*} h: (0,\infty) \to \mathbb{R}^+ ,x \mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ fällt monoton.

Na ja, wenn der Definitionsbereich von -unendlich bis unendlich ginge, war ich nicht sicher ob sie STRENG monoton wachsend wäre.

Sollte aber der Fall sein, wenn ich es mir recht überlege, also kann ich die Argumentation mit dem Definitionsbereich weglassen.

Und weil du hier schreibst "Wenn aus x>y stets f(x)>f(y)" folgt... das ist eine Äquivalenz, oder? Hier wird ja bewiesen, dass aus f(x) < f(y) folgt, dass x < y (also genau umgekehrt)

Wünsche eine wundervolle Nacht und nochmals tausend Dank!

07.05.2014, 07:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

Der Monotonie"-Beweis" ist mir jedoch etwas suspekt.

Es wird doch gezeigt, dass aus $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{x})^7<(1+\sqrt{y})^7 \end{eqnarray*}$ direkt $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ folgt. Nichts anderes bedeutet es, das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ monoton ist, tatsächlich ist deshalb auch die Ableitung größer null, da ja der Differenzenquotient betrachtet wird.
Wenn ihr Differenzierbarkeit noch nicht definiert habt, so darf dieses Hilfsmittel aber nicht benutzt werden, und daherist wohl dieser Weg gewählt worden.

Der im Link angegebene Beweis ist zwar richtig. Mir fehlen aber die Begründungen, warum die einzelnen Umformungsschritte erlaubt sind (also Äquivalenzumformungen sind). Denn ich befürchte, daß gedankenlose und leichtsinnige Menschen den Beweis genauso führen würden, wenn in der Aufgabe die 7 durch eine 8 und das + durch ein - ersetzt würden. Und auf einmal wäre alles gräßlich falsch ...

07.05.2014, 09:40

Pöse

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, oje, da hab ich mich in was reingeritten. Ich hätte das Beispiel doch nicht ankreuzen sollen, fürchte ich. Jetzt bin ich total von der Rolle, weil ich dachte ich hätte es verstanden unglücklich

unglücklich

Wenn ich ein minus hätte UND ^8, dann wäre das Endergebnis ja trotzdem positiv, weil minus mal minus mal minus ... und das in ner geraden anzahl...

ich bin völlig am falschen Dampfer, ja?

Bitte, bitte stubs mich jemand in die richtige Richtung!

07.05.2014, 10:56

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Was Leopold meint ist vermutlich die Abbildung $\begin{eqnarray*} h: [0,\infty ) \to \mathbb{R}, x\mapsto (1-\sqrt{x})^8 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du da wie im Beispiel ansetzt, also mit $\begin{eqnarray*} (1-\sqrt{x})^8<(1-\sqrt{y})^8 \end{eqnarray*}$ , ist das äußerst problematisch, da es sein kann, dass $\begin{eqnarray*} 1-\sqrt{x} <0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1-\sqrt{y}<0 \end{eqnarray*}$ .
Da der Exponent aber positiv ist, werden beide Seiten positiv, und es würde nichtmehr $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ folgen.

Z.B. ist $\begin{eqnarray*} (1-\sqrt{\frac{1}{4}})^8 = \frac{1}{256} < (1-\sqrt{0})^8=1^8 = 1 \end{eqnarray*}$ und das obwohl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}>0 \end{eqnarray*}$ .

07.05.2014, 16:11

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist das Problem.

Ich könnte mir den folgenden Beweis vorstellen ( $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ im Folgenden $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \sqrt{x} \right)^7 < \left( 1 + \sqrt{y} \right)^7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ 1 + \sqrt{x} < 1 + \sqrt{y} \ \ \text{(da die Funktion} \ t \mapsto t^7 \ \ \text{streng monoton wächst)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ \sqrt{x} < \sqrt{y} \ \ \text{(Subtraktion von} \ -1 \ \text{auf beiden Seiten)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ x < y \ \ \text{(da die Funktion} \ t \mapsto \sqrt{t} \ \text{streng monoton wächst)} \end{eqnarray*}$

Würde man die $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ durch eine $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ ersetzen, wäre schon der erste Schluß nicht mehr möglich, denn $\begin{eqnarray*} t \mapsto t^8 \end{eqnarray*}$ ist nicht streng monoton wachsend. Das Ganze ließe sich noch retten, wenn man eine geeignete Restriktion betrachtet: $\begin{eqnarray*} t \mapsto t^8 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion ist streng monoton wachsend.

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \sqrt{x} \right)^8 < \left( 1 + \sqrt{y} \right)^8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ 1 + \sqrt{x} < 1 + \sqrt{y} \end{eqnarray*}$

Der Schluß ist korrekt, weil die Funktion $\begin{eqnarray*} t \mapsto t^8 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$ streng monoton wächst, und die Termwerte von $\begin{eqnarray*} 1 + \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 + \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ , sogar $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ sind.

Wenn man jetzt auch noch das Plus durch ein Minus ersetzt, geht gar nichts mehr:

$\begin{eqnarray*} \left( 1 - \sqrt{x} \right)^8 < \left( 1 - \sqrt{y} \right)^8 \end{eqnarray*}$

Denn jetzt kann man keine geeignete Restriktion von $\begin{eqnarray*} t \mapsto t^8 \end{eqnarray*}$ mehr finden, da die Terme in den Klammern auch negative Werte annehmen können.
Ist ja auch kein Wunder, denn die Aussage ist schlicht und einfach falsch.

Aus didaktischen Gründen halte ich daher den Beweis aus dem Link für ziemlich verfehlt, selbst wenn es mathematisch nichts auszusetzen gibt. So bringt man sich nämlich nur falsche Mathematik bei.

08.05.2014, 15:44

Pöse

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, mir wurde es während der Übung klar. smile

smile

(Dachte es geht um den vorherigen Teil des Beweises, das mit der Umformung ist ja logisch)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »