Bestimmen der Nebenklassen (Verständnis)

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breezy Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen der Nebenklassen (Verständnis)
Meine Frage:
Hallo =)

da wir heute erst die Nebenklassen eingeführt haben und ich mir nicht ganz sicher bin ob ich es verstanden habe, dachte ich frag hier einfach mal nach =)

Meine Ideen:
Also, wenn ich die Nebenklassen bestimmen möchte verfahre ich wie folgt:

Erstmal das Grundlegende:
Sei G meine Gruppe und H eine Untergruppe.

Sei zum Beispiel H={x,y,z} also eine Untergruppe mit drei Elementen. Und sei G={a,b,c,d,e,f,g,h} also eine Gruppe mit 8 Elementen. [Ich weiß x,y,z müssen auch aus G sein, aber fürs Verständnis ist es so vielleicht erstmal einfacher].

Um nun zum Beispiel die Nebenklasse von a zu bestimmen gehe ich her und rechne:
ich bilde die Inverse von a; sprich ich bilde a^-1

Nun berechne ich (a^-1)*x ; (a^-1)*y ; (a^-1)*z
wenn diese Produkte bzw. Verknüpfungen in H liegen dann stehen die Elemente mit einander in Relation.
Beispielsweise sei (a^-1)*x=y , dann steht x mit a in Relation, weil ja gerade y in H ist.
Das heißt, dass y dann auf jeden Fall in der Äquivalenzklasse von a drinnen ist.

Ist dies bisher korrekt? Welche Nebenklasse habe ich hier gebildet? Müsste die Linksnebenklasse sein oder?

Wenn obiges korrekt ist, dann müsste gelten, dass ich für mein Beispiel maximal 3 Nebenklassen existieren und sich die 8 Elemente aus G in die (maximal) drei Äquivalenzklassen aufteilen.


Lg breezy
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sei zum Beispiel H={x,y,z} also eine Untergruppe mit drei Elementen. Und sei G={a,b,c,d,e,f,g,h} also eine Gruppe mit 8 Elementen. [Ich weiß x,y,z müssen auch aus G sein, aber fürs Verständnis ist es so vielleicht erstmal einfacher].

Hier solltest du schon unbedingt beachten, dass gelten muss und das für alle auch sein muss, deshalb würde ich die Elemente schon richtig bezeichnen (Ich bezeichne im folgenden mal mit die Abbildung der Gruppe).
Welche Relation? Die Kongruenzrelation, also mit ?
breezy Auf diesen Beitrag antworten »

Das e auch in der Untergruppe sein soll ist mir klar und dass diese abgeschlossen sein muss und inverse besitzt smile
dachte nur es wäre vllt erstmal hilfreicher, das ganze mit verschiedenen Buchstaben zu machen, da es mir nur um das bestimmen der Nebenklassen ging...

Die Relation sollte sein, dass
a~b <=> (a^-1)*b € H (also genau die Relation die du auch aufgeschrieben hast, also die Kongruenzrelation)

machen wir es vllt doch etwas expliziter:

Sei G={obere Dreiecksmatritzen über den Körper Z/3Z} mit der Matritzenmultiplikation als Verknüpfung


d.h. G = { }

und H={ }

Um nun die Äquivalenzklasse von z.B. zu bestimmen, bilde ich die Inverse der Matrix welche die Matrix wiederum selber ist.
nun multipliziere ich die Matrix einzeln mit den drei Elementen aus H, sodass ich erhalte:










diese drei matritzen würden dann der Äquivalenzklasse von entsprechen

korrekt?

LG und schonmal vielen dank für deine Hilfe
breezy Auf diesen Beitrag antworten »

ohje, dass ist totaler stuss, was ich hier schreibe... sry ich stand irgendwie auf der leitung...
ich korrigiere das eben mal
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
machen wir es vllt doch etwas expliziter:

Mir wäre allgemeiner zwar lieber, aber gut.

Zitat:
a~b <=> (a^-1)*b € H (also genau die Relation die du auch aufgeschrieben hast, also die Kongruenzrelation)

Da fehlen aber Voraussetzungen.

Zitat:
Z/3Z

Über dem Körper mit Matrizenmultiplikation? verwirrt
Ein Körper hat erstmal zwei Verknüpfungen, eine Gruppe hat eine. Welche Elemten liegen in ? Oder betrachtest du Isomorphe Gruppen?

Wenn eine Gruppe, und eine Untergruppe ist.
Jetzt betrachtest du die Kongruenzrelation: gilt , wenn es also ein gibt, sodass , dann liegt in der selben Äquivalenzklasse wie (Es ist ).

Dein Beispiel geht so nicht, denn ist keine Untergruppe, da kein Inverses Element in besitzt.
Ich hab es nicht überprüft, aber ich könnte wetten das nichtmal eine Gruppe ist.

Wieso fängst du überhaupt mit einem so komplexen Beispiel an? Betrachte doch ein mit der Addition, da ist schon schöner zu rechnen.

EDIT:
Zitat:
ohje, dass ist totaler stuss, was ich hier schreibe... sry ich stand irgendwie auf der leitung... ich korrigiere das eben mal

Nutze eine andere Gruppe, Matrizen sind schon wegen des Rechenaufwandes... Kotzen

Ich bin für heute erstmal raus, melde mich morgen früh zurück Wink
breezy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Äquivalenzklasse vom Element a ist definiert als die Menge für die gerade die Relation gilt...

das heißt:

Nebenklasse für id:

Unter der gegebenen Relation ist id~b <=> (id^-1)*b € H, da (id^-1)=id folgt:
die Nebenklasse von id ist H selbst, da id mal ein Element aus H ja gerade wieder in H landet.




Nebenklasse von

die Inverse der Matrix ist immernoch die Matrix selbst. Demnach ist die Nebenklasse von die Menge der Matritzen die von rechts mit dieser Multipliziert eines der Elemente aus H ergibt.
Dies wären:
um auf id zu kommen logischerweise die Matrix selbst, da sie wie bereits erwähnt ihre Inverse ist.

um auf zu kommen:

um auf zu kommen:

für die restlichen Elemente bestimmt man das analog...

-----------------------------------------------


Welche Vorraussetzungen fehlen denn bei der Äquivalenzrelation?
Sie ist Reflexiv, da a^-1 * a = id
Symmetrisch: a~b => a^-1 * b € H => (a^-1 * b)^-1 € H => b^-1 * a € H => b~a
Transitiv: a~b , b~c => (a^-1 * b) € H , b^-1 * c € H => a^-1 * b * b^-1 * c € H => a-1 * c @ H => a~c



Was ich mit Z/3Z meinte ist, dass die Einträge in den Matritzen aus Z/3Z sind.
Elemente in Z/3Z sind 0, 1, 2



Die Inverse von ist doch gerade die Matric ? wenn ich die beiden miteinander multipliziere komme ich auf id...

bring licht in mein wirres hirn smile

lg
 
 
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Du rechnest in den Matrizen mit den Restklassen von ?
Wenn du das Grundprinzip verstehen willst, warum dann eine so komplizierte Gruppe, die auch nur geht weil ein Körper ist, wenn eine Primzahl ist?

Zitat:
Welche Vorraussetzungen fehlen denn bei der Äquivalenzrelation? Sie ist Reflexiv, da a^-1 * a = id Symmetrisch: a~b => a^-1 * b € H => (a^-1 * b)^-1 € H => b^-1 * a € H => b~a Transitiv: a~b , b~c => (a^-1 * b) € H , b^-1 * c € H => a^-1 * b * b^-1 * c € H => a-1 * c @ H => a~c

Woher komme die Elemente?

Ich mach das ganze vielleicht mal konsistenter, mit einem Beispiel.
Sei . Jetzt ist und die Addition ist erklärt durch .
Dann ist eine Untergruppe, richtig?

Jetzt können wir ja mal die Linksnebenklasse zu bestimmen, also .
Jetzt kommt die Kongruenzrelation ins Spiel: Betrachte die Linksnebenklasse . Was fällt dir hier auf?
Es gilt jetzt , denn und (ich bezeichne die Kongruenzrelation hier mit damit klar ist, das sie sich auf die Untergruppe bezieht).
breezy Auf diesen Beitrag antworten »

heyho =)

Zitat:
Du rechnest in den Matrizen mit den Restklassen von ?
Wenn du das Grundprinzip verstehen willst, warum dann eine so komplizierte Gruppe, die auch nur geht weil ein Körper ist, wenn eine Primzahl ist?


jarp, weil ich irgendeine nicht abelsche gruppe haben wollte damit die rechtsnebenklassen halt nicht identisch sind mit den linksnebenklassen, und da ich über diesem Körper halt ganz einfach eine nicht zu kleine aber auch nicht zu große gruppe erzeuge, die nicht abelsch ist =)

Zitat:
Woher komme die Elemente?

a,b € G würde ich jetzt sagen, da ich mir aber gerade über nichts mehr sicher bin, fasse ich jetzt mal alles zusammen:

Hier mal die ganze Sache wie ich sie jetzt verstanden hab:

Das Bilden der Nebenklassen, erfolgt immer gleich:
Wenn ich die Linksnebenklasse des Elementes a in H einfach erstmal bilden will muss ich ja einfach erstmal rechnen:
a*h_{1} ; a*h_{2} ; und so weiter bis ich alle Elemente aus H durch hab. Die Ergebnisse der Multiplikation bilden die Menge der Linksnebenklassen:
sprich: aH={ a*h_{1} , a*h_]{2} , ... a*h_{n} } (wenn H jetzt einfach mal n Elemente besitzt)


Nun zur Relation (hier rühren meiner Meinung nach meine Fehlvorstellungen her):
Bisher hatte ich die Relation selbst so verstanden, dass diese mir angibt, wie ich die Nebenklasse bilde, das ist natürlich quatsch!
Die Links- / Rechtsnebenklassen werden immer nach dem gleichen Prinzip berechnet; nämlich so wie gerade beschrieben.
Die Relation selbst sagt mir also im allgemeinen gar nichts über das WIE die einzelnen Nebenklassen aussehn, sondern nur unter welchen Bedinungen zwei Elemente kongruent zu einander sind.
In unserem speziellen Falle hier, aber ist die Relation ja gerade über die Linksnebenklasse definiert, also sagt sie mir hier doch etwas über die Nebenklassen aus:
a ist kongruent zu b, wenn a*H = b ist.
das heißt, wenn das Element b selbst irgendwo in der Nebenklasse von a bzgl. H drinnen ist, dann ist b kongruent zu a.

Soweit erstmal alles korrekt?

Was bringt es mir denn hier dann überhaupt Relationen einzuführen, wenn die wirkliche Bildung/ Erzeugung der Nebenklassen unabhängig von der Relation ist?
Ich kann dann die ganze Menge der Nebenklasse mit einem Element (und die Untergruppe brauch ich natürlich auch) identifizieren.
Welchen Sinn hat das?







Zitat:
Betrachte die Linksnebenklasse . Was fällt dir hier auf?

diese ist logischerweise identisch mit der der linksnebenklasse von 1

lg =)
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bisher hatte ich die Relation selbst so verstanden, dass diese mir angibt, wie ich die Nebenklasse bilde, das ist natürlich quatsch!

Nein, das ist nicht quatsch. Nur ist es doch viel einfacher, die Elemte so zu berechnen.

Zitat:
a ist kongruent zu b, wenn a*H = b ist.

Die schreibweise passt nicht, du meinst wohl folgendes: wenn es ein gibt mit .

Zitat:
Welchen Sinn hat das?

Habt ihr bereits bewiesen, dass zwei Linksnebenklassen entweder disjunkt oder gleich sind?
breezy Auf diesen Beitrag antworten »

hey
Zitat:
Habt ihr bereits bewiesen, dass zwei Linksnebenklassen entweder disjunkt oder gleich sind?

bisher noch nicht wird aber sichlich kommen =)

vielen dank für deine Hilfe, hab es jetzt endlich kapiert =)

Ganz liebe Grüße und nochmal vielen Dank!!!

lg breezy
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
bisher noch nicht wird aber sichlich kommen =)

Dann wirst du erkennen wofür du die Kongurenzrelation benötigst smile
Kein Problem smile
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