konforme Ersatzrente

06.05.2014, 22:26

c.larissa

konforme Ersatzrente

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe eine Aufgabe, wo ich die Lösung kenne, aber den Lösungsweg nicht nachvollziehen kann.

Bei der Aufgabe geht es darum, dass A ab dem 1.1.2010 monatlich nachschüssig 250? anlegt und von der Bank auf die monatlichen Sparraten einen Zinssatz von 4,5% bekommt. Am 1.1.2015 entscheidet sich A doch dazu, die monatlichen Sparrate zu erhöhen, um am 1.1.2019 38.000? zu bekommen. Auf welchen Betrag müsste A die bisherigen monatlichen Sparraten erhöhen?

Meine Ideen:
Ab 1.1.2010 legt A pro Monat 250? an und hat bis 1.1.2015 16.750,66? gespart. So weit verstanden.
Jetzt gibt der Lösungsweg vor, dass man 16.750,66? * 1,045^4 = 19.975,47? ; 38.000 - 19.975,47 = 18.024,53? rechnet und daraus dann den Monatsbetrag errechnet.
Ich hätte aber direkt gerechnet: 38.000 - 16.750,66? = 21.249,34 und daraus den Monatsbetrag.
Dadurch bekomme ich natürlich einen komplett anderen Betrag raus (nämlich 405,54 und Lösung ca 344). Ich verstehe aber nicht, wieso ich die normalen Zinseszins auf die 16.750,66? drauf rechne, obwohl ich ab den Zeitpunkt doch einen anderen monatlichen Sparrate da drauflege, wodurch sich doch der jährliche Rückzahlungswert ändert.

Edit[Kasen75]: "koforme" durch "konforme" ersetzt.

06.05.2014, 22:55

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die $\begin{eqnarray*} 16.750,66=K_{2015} \end{eqnarray*}$ ist der Wert der bisherigen Zahlungen zum Zeitpunkt 1.1.2015. Jedoch werden diese in den folgenden vier Jahren weiter verzinst. Im Prinzip ist die vollständige Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{16.750,66*(1,045)^4}_{\text{Wert der bish. Zahlungen zum Zeitpunkt t=2019}}+(250+r)\cdot \frac{1,045^4-1}{1,045^{1/12}-1}=38000 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung ist bezieht sich somit auf beiden Seiten auf den Zeitpunkt t=2019.

Grüße.

06.05.2014, 23:43

c.larissa

Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie leuchtet mir das immer noch nicht ein.
Das ist doch so, dass zu den 16.750,66 jeden Monat 344€ dazu kommen, die mitverzinst werden durch einen Jahreszins von 4,5% oder nicht? Wie kann man sich denn da die beiden Teil getrennt betrachten?

07.05.2014, 03:16

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von c.larissa
Das ist doch so, dass zu den 16.750,66 jeden Monat 344€ dazu kommen, die mitverzinst werden durch einen Jahreszins von 4,5% oder nicht?

Das ist absolut richtig, dass sowohl die 16.750,66 € verzinst werden als auch die einzelnen Raten. Man betrachtet sie nur deswegen getrennt, da die einzelnen Raten unterschiedlich lang verzinst werden. Die Raten werden ja zu unterschiedlichen Zeitpunkten eingezahlt. Liegen somit unterschiedlich lang auf dem Konto.

Die erste Rate wird Ende Januar 2015 eingezahlt. Sie wird somit 3 Jahre 11 Monate (47 Monate ) verzinst. Die zweite Rate wird Ende Februar 2015 eingezahlt. Sie wird somit ein Monat weniger verzinst. Und so weiter-
Das berücksichtigt man dann mit der Formel die ich verwendet habe und die du wahrscheinlich kennst. Es wird hier allerdings der äquivalente Monatszins verwendet.

Dieser ist $\begin{eqnarray*} i_m=1,045^{1/12} \end{eqnarray*}$ . Wobei $\begin{eqnarray*} \left( 1,045^{1/12} \right)^{48}=1,045^{48/12}=1,045^{4} \end{eqnarray*}$ ist. Deswegen steht das so bei mir auch im Zähler. Es wurde aber grundsätzlich auch im Zähler der äquivalente Monatszinssatz verwendet.

Man kann jetzt durchaus getrennt davon die Verzinsung der 16.750,66 € betrachten. Hier ist der normale Zinseszins anzuwenden.

07.05.2014, 23:11

c.larissa

Auf diesen Beitrag antworten »

aber die nachschüssige Rente ist doch einfach dassele wie die zinseszinsliche Verzinsung oder nicht? Da ist es doch egal, wie lange und ab wann die auf dem Konto sind. Da kommt am Ende des Jahres doch so oder so Zinsen drauf (also hier dann noch auf dem Monat umgerechnet)
Irgendwo hakt es bei mir....

08.05.2014, 01:50

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von c.larissa
aber die nachschüssige Rente ist doch einfach dassele wie die zinseszinsliche Verzinsung oder nicht?

Ich glaube hier hakt es etwas. Dazu ein kleines, nachvollziehbares Beispiel.

1. Fall: 100 Euro werden für 2 Jahre verzinst zu einem Zinssatz von $\begin{eqnarray*} i=10%=0,1 \end{eqnarray*}$

Man zahlt somit nur einmal 100 Euro ein. Diese werden erst einmal ein Jahr verzinst:

$\begin{eqnarray*} K_1=100\cdot (1+0,1)=100+10=110 \end{eqnarray*}$

Im zweiten Jahr wird nicht nochmal etwas eingezahlt, sondern nur das bereits verzinste Kapital nochmal verzinst.

$\begin{eqnarray*} K_2=110 \cdot (1+0,1)=110+11=121 \end{eqnarray*}$

Insgesamt kann man das auch mit der Zinseszins-Formel berechnen: $\begin{eqnarray*} K_n=K_0\cdot (1+i)^n=100\cdot (1,10)^2=121 \end{eqnarray*}$

2. Fall; Es werden 2 Jahre lang jeweils am Anfang des Jahres (somit vorschüssig) 100 Euro eingezahlt und der jeweilige Betrag auf dem Konto zu i=10% verzinst.

Im ersten Jahr zahlt man am Anfang des Jahres 100 Euro ein. Diese werden ganz normal verzinst:

$\begin{eqnarray*} K_1=100\cdot (1+0,1)=110 \end{eqnarray*}$

Im zweiten Jahr kommen am Anfang des Jahres erst einmal 100 dazu. Der Gesamtbetrag wird dann mit 10% verzinst.

$\begin{eqnarray*} K_2=(110+100)\cdot (1+0,1)=210\cdot (1+0,1)=210+21=231 \end{eqnarray*}$

Auch dies kann man mit Hilfe einer Formel berechnen. In diesem Fall mit der Formel für den Endwert einer vorschüssigen Rente:

$\begin{eqnarray*} K_n=r\cdot q\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=100\cdot 1,1 \frac{1,1^2-1}{1,1-1}=100\cdot \frac{0,21}{0,1}=1,1 \cdot 100\cdot 2,1=1,1\cdot 210=231 \end{eqnarray*}$

Hier bei ist $\begin{eqnarray*} q=i+1 \end{eqnarray*}$

Da es für die einfache Zinseszinsrechnung und für die Renten, vorschüssig oder nachschüssig, jeweils eigene Formeln gibt, rechnet man diese beiden Zahlungen bzw. Zahlungsströme getrennt.

Im zweiten Fall hat man gesehen, dass

1. nochmal auf das Konto eingezahlt wurde

2. das neu hinzugekommene Kapital weniger oft verzinst (kürzer) wurde als die 100 Euro, die am Anfang eingezahlt wurden.

Ich hoffe es ist einiges klarer geworden. smile

08.05.2014, 19:43

c.larissa

Auf diesen Beitrag antworten »

ah, jetzt hat's geklickt!

Also man rechnet das bei der Aufgabe getrennt, weil da andere Monatsbeträge eingezahlt werden. Und zu den ersten Teil , also 16.750,66€, rechnet man einfach nur mit der zinseszinslichen Verzinsung weiter, weil da zwar nix mehr dazu kommt, aber trotzdem auf dem Konto bleibt.

Der Unterschied zinseszinslicher Verzinsung und vor-/nachschüssige Rente ist, dass bei der normalen Verzinsung im Jahre 0 ein Betrag auf das Konto eingezahlt wird, aber danach nichts mehr und dieser Betrag dann bis Jahre n verzinst wird, während bei der Rente monatlich/jährlich/... ein Betrag eingezahlt wird und der neue Betrag jedes Jahr verzinst wird.

Richtig?

08.05.2014, 20:21

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.