Fouriertransformation

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Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformation
Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard. Der Titel verrät schon das Thema.

Die Aufgabe:
a) Berechnen und skizzieren Sie die Fouriertransformierte der im Bild dargestellten Funktion.

b) Zeigen Sie, dass und berechnen Sie die Fouriertransformierte von

c) Benutzen Sie das Ergebnis aus c) um zu zeigen, dass die Fouriertransformierte der sgn-Funktion proportional zu ist, d.h.



Meine Ideen:
http://www.bilder-upload.eu/thumb/0c3979-1399410295.png

Also die Fouriertransformierte ist:



Ist das die richtige Formel? Ich muss ja die Funktion dann einsetzen und das zweimal? Bzw. für zwei Fälle?

b) und c) schrecken mich erstmal ab, also widmen wir uns erstmal a)

Danke, lieber Gruß

Paula
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation
Wieso hilft mir denn wieder niemand traurig ich schaff das alleine nicht unglücklich
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation
Die Fourierformel lautet



Da f(t) fast überall Null ist, brauchst Du nur das Intervall [-1;1] zu betrachten. In der Tat gibt es hier zwei Funktionsvorschriften für f(t), eine für t<0, eine für t>0. Wie lauten die?

Der Rest ist auch nicht schwer: Da gilt , kannst Du das Fourierintegral sofort hinschreiben und berechnen.

Viele Grüße
Steffen
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Da f(t) fast überall Null ist, brauchst Du nur das Intervall [-1;1] zu betrachten. In der Tat gibt es hier zwei Funktionsvorschriften für f(t), eine für t<0, eine für t>0. Wie lauten die?

Ja die im Anhang bzw. Bild, "stückweise" definierte Funktion.

Zitat:
Original von Steffen Bühler

Der Rest ist auch nicht schwer: Da gilt , kannst Du das Fourierintegral sofort hinschreiben und berechnen.

Stimmt eigentlich ja schon.



Aber die Funktion unterscheidet sich ja bis auf's Vorzeichen und im Argument auch. Wie berücksichtige ich das denn? Muss ich das nicht doch dann zweimal berechnen?

Viele Grüße zurück Paula
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauline21
Zitat:
Original von Steffen Bühler
In der Tat gibt es hier zwei Funktionsvorschriften für f(t), eine für t<0, eine für t>0. Wie lauten die?

Ja die im Anhang bzw. Bild, "stückweise" definierte Funktion.


Oh, da liegt vielleicht das Missverständnis. Nein, Du sollst erst einmal die im Bild dargestellte Funktion transformieren. Das fN(x) und so weiter kommt später.

Und f(x) besteht aus zwei einfachen linearen Funktionen, eine für -1<x<0, die andere für 0<x<1. Also f(x)=...
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Oh, da liegt vielleicht das Missverständnis. Nein, Du sollst erst einmal die im Bild dargestellte Funktion transformieren. Das fN(x) und so weiter kommt später.

Ja ich bin die Weltmeisterin im Sachen verdrehen unglücklich

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Und f(x) besteht aus zwei einfachen linearen Funktionen, eine für -1<x<0, die andere für 0<x<1. Also f(x)=...


für
für

Korrekt? Ansonsten bereichere ich gleich den Bach mit meiner Leiche Big Laugh

LG Paula
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst hier bleiben, es passt alles.

Dann ist der Rest klar, oder?

Viele Grüße
Steffen
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja zur a) denke ich schon. Den Integraltipp kann ich dann verwenden, und dann das Integral berechnen, sollte gehen. Beim Rest naja dann nicht mehr so.

Ich müsste bei der b) Zuerst den Grenzwert bilden der stückweise definierten Funktion für N gegen unendlich und zeigen dass es gleich der Signumfunktion ist? Wobei ich jetzt nicht weiß welcher Vorzeichenfunktion?

Danke sehr,

Paula
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauline21
Ich müsste bei der b) Zuerst den Grenzwert bilden der stückweise definierten Funktion für N gegen unendlich und zeigen dass es gleich der Signumfunktion ist?


Richtig.

Zitat:
Original von Pauline21
Wobei ich jetzt nicht weiß welcher Vorzeichenfunktion?


Versteh ich nicht. Es gibt doch nur eine.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grenzwert ist 1 und -1. Sry habe mich verlesen. Wie zeige ich jedoch jetzt dass dies gleich der Signumfunktion ist?

Paula
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nuja, um zu zeigen, dass irgendeine Funktion f(x) identisch mit der Signumfunktion ist, musst Du zeigen, dass

f(x)=-1 für x<0

f(x)=0 für x=0

f(x)=1 für x>0
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Das ist ja gerade die Definition der Signumfunktion. Aber wie soll ich an die Stelle x=0 kommen? Ich meine 1 und -1 hätte ich ja mit den Grenzwerten für N gegen unendlich, theoretisch müsste ich dann aber die Punkte der Funktin für die Stellen der Signumfunktion überprüfen?

Paula
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauline21
Aber wie soll ich an die Stelle x=0 kommen?


Die ist ja laut Fallunterscheidung durch die obere Zeile gegeben mit . Nun musst Du als drittes nur zeigen, dass
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Die ist ja laut Fallunterscheidung durch die obere Zeile gegeben mit . Nun musst Du als drittes nur zeigen, dass

Aber es ist doch
Folglich sie ist nicht identisch mit der Signumfunktion verwirrt
Aber das muss sie doch sein anders kann ich dann die Gleichheit nicht zeigen?

Und wie berechne ich jetzt die Fouriertransformierte von dieser Funktion ? Das Intervall ist ja nicht eindeutig (sprich konkrete Zahlen), also von Minusunendlich bis Plusunendlich. Sprich ich hätte es dann mit einem uneigentlichen Integral zu tun? Bzw. Fouriertransformierten?

LG Paula
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauline21
Aber es ist doch
Folglich sie ist nicht identisch mit der Signumfunktion


Ich hab schon ewig keine Limesberechnung mehr gemacht, aber Du hast recht, wie mir scheint. Vielleicht solltest Du diesen Aufgabenteil in einen neuen Thread stellen, eventuell kann jemand anders mehr dazu sagen.

Zitat:
Original von Pauline21
Und wie berechne ich jetzt die Fouriertransformierte von dieser Funktion ?


Wieder stur in die Fourierformel einsetzen, erst von minus unendlich bis Null, dann von Null bis plus unendlich. Wieder kannst Du dann beide Integrale addieren.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Vielleicht solltest Du diesen Aufgabenteil in einen neuen Thread stellen, eventuell kann jemand anders mehr dazu sagen.

Hm unglücklich wäre gut. Ist nämlich irgendwie komisch.

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Wieder stur in die Fourierformel einsetzen, erst von minus unendlich bis Null, dann von Null bis plus unendlich. Wieder kannst Du dann beide Integrale addieren.

Aber es sind dann doch uneigentlich Integrale?

LG Paula
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Zitat:
Original von Pauline21
Aber es ist doch
Folglich sie ist nicht identisch mit der Signumfunktion


Ich hab schon ewig keine Limesberechnung mehr gemacht, aber Du hast recht, wie mir scheint. Vielleicht solltest Du diesen Aufgabenteil in einen neuen Thread stellen, eventuell kann jemand anders mehr dazu sagen.

Bei der obigem Definition von ergibt sich tatsächlich , was sich von der üblichen Definition unterscheidet. Für die Fouriertransformation ist das unerheblich. Die Änderung eines Funktionswertes an einer einzelnen Stelle ändert das Integral über die Funktion nicht. Schöner wäre es aber gewesen, man hätte in die Definition von aufgenommen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauline21
Zitat:
Original von Steffen Bühler
Wieder stur in die Fourierformel einsetzen, erst von minus unendlich bis Null, dann von Null bis plus unendlich. Wieder kannst Du dann beide Integrale addieren.

Aber es sind dann doch uneigentlich Integrale?










Auch mit Unendlich als Grenzen kann das Integral durchaus konvergieren und eine Zahl als Lösung haben, wie in diesem Fall.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Bei der obigem Definition von ergibt sich tatsächlich , was sich von der üblichen Definition unterscheidet. Für die Fouriertransformation ist das unerheblich. Die Änderung eines Funktionswertes an einer einzelnen Stelle ändert das Integral über die Funktion nicht. Schöner wäre es aber gewesen, man hätte in die Definition von aufgenommen.

Okay, aber formal habe ich das dann doch gezeigt, dass die Funktion gleich der Signumfunktion ist? Oder fehlt mir da noch was?

Ich meine addieren geht doch nicht? Ich hab doch zwei verschiedene Integranden? Oder übersehe ich etwas traurig



Danke Euch LG Paula
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauline21
Ich meine addieren geht doch nicht? Ich hab doch zwei verschiedene Integranden?


Richtig, und dadurch auch zwei verschiedene Flächen links und rechts der y-Achse. Die aber kannst Du getrennt ausrechnen (wieder Limesbildung, eventuell kann ja Huggy noch mal aushelfen smile ) und dann zur Gesamtfläche addieren.

Viele Grüße
Steffen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die beiden Teilintegrale über die Stammfunktion des Integranden ausrechnet, sieht man schon, dass die beiden Terme bei gegen 0 konvergieren.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, versuche ich es mal auch formal korrekt aufzuschreiben.





(geht dieser Schritt eigentlich?)






Stimmt das? verwirrt Und das geht beides gegen Null?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Übergang zur letzten Zeile sind dir diverse Fehler unterlaufen. Korrekt muss es heißen:



Nun gilt:



weil der Bruch eine Konstante ist, der erste Exponentialterm beschränkt ist und der zweite Exponentialterm gegen 0 geht. Analoges gilt für den zweiten Grenzwert. Es bleiben also nur die von der Integralgrenze 0 stammenden Terme übrig.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation
Okay, ich denke das ist klar. Damit wäre die b) geschafft.
Bei c) soll das Ergebnis aus c) benutzen um zu zeigen, dass die Fouriertransformierte der sgn-Funktion proportional zu ist, d.h.



Der Orginalwortlaut in Beitrag #1 ist so wie er ist, also komischunglücklich
Kann mir jmd bitte da den Weg aufzeigen

Danke, lieber Gruß

Paula
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation
Diese Frage finde ich recht seltsam. Mit b) hast du die Fouriertransformierte von bestimmt. Jetzt musst du nur noch den Grenzwert bilden, was mehr als simpel ist. Dann steht die Fouriertransformierte von da, sogar mit der Proportionalitätskonstanten.

Oder ist dir nicht klar, dass dein das k in der Fragestellung ist?
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation
Zitat:
Original von Huggy
Oder ist dir nicht klar, dass dein das k in der Fragestellung ist?

Das ist wohl so.

Naja der Orginaltext der Aufgabe nochmal:
[attach]34227[/attach]
Also Grenzwert für N gegen Unendlich und fertig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation
Zitat:
Original von Pauline21
Also Grenzwert für N gegen Unendlich und fertig?

Ja! Und nun mach das mal.
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