Sättigungsgrenze bestimmen

07.05.2014, 13:17	schueler97	Auf diesen Beitrag antworten »
Sättigungsgrenze bestimmen Hallo, Hab hier noch folgende Aufgabe: Es werden auf einem Acker wöchentlich 9kg eines Unkrautlösemittels aufgebracht. Die Menge des Mittels nimmt wegen Zersetzung wöchentlich um 0,6 ab. Meine Idee: B(t+1)=0,4B(t)+9 Dann: R=k(S-B(t)) =0,6*(S-9) Beim Auflösen komm ich auf 5,4, was nicht stimmen kann. Rauskommen soll S=15. Kann jemand helfen? Danke.
07.05.2014, 15:13	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich weiß jetzt nicht auf welche Formel du dich beziehst. Vielleicht postest du mal die Formeln, die du so hast und erläuterst sie mal. Ich habe es mit einer Herleitung versucht. Das ist vielleicht etwas schwierig für dich zu verstehen. Aber versuchen kann man es ja mal. Deine Gleichung: $\begin{eqnarray} B(t+1)=0,4B(t)+9 \end{eqnarray}$ Es folgt: $\begin{eqnarray} B(t+2)=0,4B(t+1)+9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B(t+3)=0,4B(t+2)+9 \end{eqnarray}$ Jetzt kann man in die letzte Gleichung den Ausdruck für B(t+2) einsetzen. $\begin{eqnarray} B(t+3)=0,4^2B(t+1)+0,49+9 \end{eqnarray}$ Jetzt den Ausdruck für B(t+1) einsetzen. $\begin{eqnarray} B(t+3)=0,4^2\left[ 0,4B(t)+9\right] +0,49+9 \end{eqnarray}$ Ausmultipliziert: $\begin{eqnarray} B(t+3)=0,4^3B(t)+0,4^29+0,49+0,4 \end{eqnarray}$ Es lässt sich ein allgemeines Muster erkennen. Man kann hier gleich auch t=0 setzen und für die (t+n)-te Periode den Indexwert n schreiben. 9=B(0) $\begin{eqnarray} B(n)=0,4^nB(0)+0,4^{n-1}B(0)+0,4^{n-2}B(0)+ \ldots 0,4B(0)+0,4 \end{eqnarray}$ Bis auf den ersten Summand kann man alle anderen Summanden mit der Summenformel für Partialsummen von geometrischen Reihen zusammenfassen: $\begin{eqnarray} B(n)=0,4^nB(0)+ B(0) \frac{1-0,4^n}{1-0,4} \end{eqnarray}$ Jetzt kann man n Richtung Unendlich laufen lassen: $\begin{eqnarray} \lim_{ n \to \infty} B(n)=\lim_{ n \to \infty} 0,4^nB(0)+ B(0) \frac{1-0,4^n}{1-0,4} \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} \lim_{ n \to \infty} 0,4^n=0 \end{eqnarray}$ , da 0,4 kleiner als 1 ist. $\begin{eqnarray} \lim_{ n \to \infty} 0,4^nB(0)+ B(0) \frac{1-0,4^n}{1-0,4}=0+B(0)* \frac{1}{1-0,4}=S \end{eqnarray*}$ Damit kann man den Wert für S berechnen, wenn man für B(0) den Wert 9 einsetzt. Grüße.
07.05.2014, 17:35	schueler97	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Danke für deine Mühe. Geht das auch schneller und einfacher (10te Klasse)? Trotzdem vielen Dank
07.05.2014, 17:41	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Sofern ich das richtig sehe, geht es viel schneller Falls ich etwas missverstehe, bitte meine Idee vergessen. Es handelt sich um ein lineares (negatives) Wachstum. Zu Beginn sind 9 kg vorhanden: das ist der y-Achsenabschnitt. Wöchentlich gehen 0,6 kg verloren: das ist die Steigung. Zusammen kommt man auf $\begin{eqnarray} y=-0,6x+9 \end{eqnarray}$ . Gesucht ist offensichtlich der Zeitpunkt, an dem das Mittel vollständig verbraucht ist. Das führt zu der Gleichung $\begin{eqnarray} 0=-0,6x+9 \end{eqnarray}$ .
07.05.2014, 20:49	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mi_cha Bei dir fehlt mir irgendwie die Sättigungsgrenze, die ja niemals erreicht wird. @schueler97 Ja, ja die gute alte 10. Klassenstufe. Meine Idee wäre eine andere Gleichung aufzustellen. Wenn das Mittel um 60% abnimmt kann man dafür schreiben $\begin{eqnarray} -0,6B(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B(t+1)-B(t)=-0,6B(t)+9 \end{eqnarray}$ Nun auf der rechten Seite $\begin{eqnarray} 0,6(=3/5) \end{eqnarray}$ ausklammern. Und somit den verbleiben Teil in der Klammer mit 5/3 multiplizieren. Stichwort: Kehrwert. $\begin{eqnarray} B(t+1)-B(t)=0,6 (-B(t)+15)=0,6(15-B(t)) \end{eqnarray}$
09.05.2014, 21:30	schueler97	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ganz vergessen mich noch zu bedanken...
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