vertauschung von integral und limes

07.05.2014, 17:07

vertauschung von integral und limes

$\begin{eqnarray*} \lim_n\int_{0}^{unendlich}~x^{n/(n+1)}*e^{-x^2} ~dx \end{eqnarray*}$

darf ich den limes in das integral ziehen?
da lim x^n/(n+1)e^-x^2=x*e^-x^2 dürfte es gehen??
n->unendlich

07.05.2014, 19:26

bijektion

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Es geht um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_0^{\infty} \! x^{\frac{n}{n+1}} \cdot e^{-x^2} \, dx \end{eqnarray*}$ ?
Hast du schon die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: [0 , \infty ) \to \mathbb{R}, x \mapsto x^{\frac{n}{n+1}} \cdot e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ auf gleichmäßige Konvergenz überprüft?

07.05.2014, 20:24

felix01

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Zitat:

Original von bijektion
Es geht um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_0^{\infty} \! x^{\frac{n}{n+1}} \cdot e^{-x^2} \, dx \end{eqnarray*}$ ?
Hast du schon die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: [0 , \infty ) \to \mathbb{R}, x \mapsto x^{\frac{n}{n+1}} \cdot e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ auf gleichmäßige Konvergenz überprüft?

ich komm da nicht weiter
[attach]34186[/attach]

07.05.2014, 22:15

felix01

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diese Funktion ist nach langen überlegen nicht gleichmäßig stetig
also muss ich das integral berechnen?

08.05.2014, 14:03

felix01

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ich habe mal versucht über die extrema zu arg.
wähle u=n/(n+1) für n gegen unendlich geht u gegen 1
dann liegt das extremum bei x=wurzel(u/2)

f_n(x)<f_n(wurzel(u/2))

lim f_n(wurzel(u/2))=0,5e^-1
n

hilft mir das irgendwie weiter

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