Summendarstellungen

07.05.2014, 18:01	Daemot	Auf diesen Beitrag antworten »
Summendarstellungen Meine Frage: Hi, ich soll die Gleichheit folgender Summen für $\begin{eqnarray} a_{i,k} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ zeigen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{i=0}^{n-k}a_{i,k} = \sum\limits_{i=0}^n \sum\limits_{k=0}^{n-i}a_{i,k} = \sum\limits_{m=0}^n \sum\limits_{k=0}^{m}a_{m-k,k} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung wie man sowas zeigt, die Gleichheit der ersten beiden Summen ist im Grunde offensichtlich, da lediglich die Indexbezeichnungen vertauscht wurden, die Gleichheit bei der dritten ist auch nicht schwer zu erkennen, nur fehlt mir eine Vorgehensweise/ ein Ansatz. edit von sulo: Latex-Klammern eingefügt.
07.05.2014, 18:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
In allen drei Summen werden diejenigen $\begin{eqnarray} a_{i,k} \end{eqnarray}$ summiert, für die $\begin{eqnarray} i,k\geq 0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} i+k\leq n \end{eqnarray}$ ist (diese $\begin{eqnarray} (i,k) \end{eqnarray}$ bilden ein spezielles Gitterdreieck im $\begin{eqnarray} \mathbb{N}^2 \end{eqnarray}$ ), wobei als äußere Summationsvariable in den drei Fällen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} m:=i+k \end{eqnarray}$ (in der Reihenfolge) gewählt wurde.
07.05.2014, 18:24	Daemot	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh, ok. das ist intressant (hast du nen Link zu diesem speziellen Gitternetz?), nur sehe ich immer noch nicht, wie ich anfangen soll. Bzw, ich hab für die ersten beiden Summenpaare gesagt, $\begin{eqnarray} a_{i,k} \end{eqnarray}$ aus der ersten Summe = $\begin{eqnarray} a_{k,i} \end{eqnarray}$ aus der zweiten Summe, aufgrund der kommutativität in \|R spielt die Vertauschung aber keine Rolle. Wie komme ich von der 2. auf die 3.?
07.05.2014, 18:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
(hoffentlich) selbsterklärende Summationsreihenfolge in den drei Darstellungen [attach]34178[/attach] [attach]34179[/attach] [attach]34180[/attach] horizontal: $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -Achse vertikal: $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -Achse Die hervorgehobenen Gitterpunkte kennzeichnen diejenigen $\begin{eqnarray} (i,k) \end{eqnarray}$ , über die bei dir im Fall $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ summiert wird, eben jenes "Gitterdreieck".
07.05.2014, 19:21	Daemot	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahso, das meinte ich nicht, ich verstehe die Gleichheit, das ist nicht das Problem, aber ich habe Schwierigkeiten, das formal korrekt aufzuschreiben, einen vergleichbaren Beweis habe ich nicht finden können. Induktion wäre wohl möglich, aber vermutlich auch deutlich mehr Aufwand als nötig. Mich würde intressieren, ob es einen anderen Weg gibt.
07.05.2014, 19:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht, wo du da ein Problem siehst.
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07.05.2014, 20:03	Daemot	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich formuliers mal um, ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^n \sum\limits_{k=0}^{n-i}a_{i,k} = \sum\limits_{i=0}^n \sum\limits_{k=0}^{i}a_{i-k,k} \end{eqnarray}$ Ich weiß aber nicht, wie ich da ansetze.
08.05.2014, 16:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe jetzt mal davon aus, dass es nur noch um die letzte Summe geht? Da kannst du doch die Summationsreihenfolge vertauschen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{m=0}^n \sum\limits_{k=0}^{m}a_{m-k,k} = \sum\limits_{k=0}^{n} \sum\limits_{m=k}^n a_{m-k,k} \end{eqnarray}$ und dann eine Indexverschiebung $\begin{eqnarray} i=m-k \end{eqnarray}$ vornehmen, schon bist du bei ersten Summe. Natürlich basieren die Grenzen bei der vertauschten Summe darauf, dass man (bei beiden Summen) eigentlich über die $\begin{eqnarray} (m,k) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq k\leq m\leq n \end{eqnarray}$ summiert: Je nachdem, welchen der beiden $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ man als äußeren Index festhält, bestimmt sich der Bereich für den übrig bleibenden inneren Index.

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