Ableitung- Endomorphismus

07.05.2014, 18:26	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung- Endomorphismus hi, und hier noch eine aufgabe, die mmn schon deutlich schwerer ist. es sei $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ der $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ -Vektorraum aller reellen polynome $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ von grad <=n desweiteren bezeichnet $\begin{eqnarray} p', p'', ...,p^{(n)} \end{eqnarray}$ die erste, zweite, ..., n-te ableitung von p. zeige das durch $\begin{eqnarray} {p \to p+p'+p''+ ... +p^{(n)} } \end{eqnarray}$ definierte endomorphismus von V surjektiv ist. heftige aufgabe^^ bin für jegliche hilfe echt dankbar
07.05.2014, 19:36	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ist klar das $\begin{eqnarray} L:V \to V, p \mapsto \sum\limits_{k=0}^n p^{(k)} \end{eqnarray}$ die Abbildung ist, d.h. ist klar zwischen welchen Mengen sie abbildet? Was heißt denn surjektiv?
07.05.2014, 23:20	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
also surjektiv heißt, ich sag es mal umgangssprachlich. jedes y bekommt mind. ein x auf die aufrabe bezogen müsste das doch irgndwie jedes p' bekommt mind. ein p^^? und nein, die abbildung ist nicht klar, tut mir leid
07.05.2014, 23:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
dann hilft vielleicht, den Fall n=1 zu betrachten. Für $\begin{eqnarray} p=at+b \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} p'=a \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} {p \to p+p' = at+b + a} \end{eqnarray}$
07.05.2014, 23:43	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
na gut, dann mache ich mal kurzerhand das beispiel für n=2, nur um sicher zu gehen=) $\begin{eqnarray} p=at +bt^{2} +c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p'=a +2bt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p''=2b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} {p \to p+p'+p'' = at+bt^{2}+c+a+2bt+2b} \end{eqnarray}$ aber mich grausts jetzt schon vorm endomorphismus. irgendwelche gesetzte zeigen- hin und her. edit: so wie ich das sehe, muss ich erst mal den homomorphismus zeigen^^- omg jeder endomorphismus lässt sich als matrix schreiben. was haben denn die ableitungen mit matrix zu tun.
08.05.2014, 08:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Endomorphismus auf einem endl. dimensionalen Vektorraum ist genau dann surjektiv, wenn er injektiv ist. Und dass der Kern hier trivial ist, ist offensichtlich, wenn man sich mal den Grad der Summanden in der Abbildungsvorschrift anguckt... Oder man argumentiert abstrakt: Die Abbildung hat die Form "Identität + nilpotenter Anteil". Dass solch eine Abbildung invertierbar ist, ergibt sich aus der geometrischen Reihe.
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