Summen berechnen

07.05.2014, 18:59

dharma

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Summen berechnen

Meine Frage:
Folgende Aufgaben bedrücken mich und ich krieg sie wegen meines mangelnden Könnens nicht hin. Haben Sie von Prof hingehauen bekommen und der gesamte Kurs schlägt sich nun damit rum. Eine Schritt für Schritt Erklärung wäre mir unglaublich hilfreich smile

smile

1.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{100} (k+1)² - \sum\limits_{k=3}^{102} (k-2)² \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{1111} (k-1) \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=3}^4 \sum\limits_{k=2}^i (i+k) \end{eqnarray*}$

Ich bedanke mich bereits jetzt vielmals..

Meine Ideen:
Da ich zur Zeit nicht zu Hause bin, konnte ich mir das von keinem anderen hier erklären lassen, sodass mir die Ansätze und Herangehensweisen an diese Thematik fehlen. Ich verlange natürlich keine endgültigen Lösungen aber ein grober Leitfaden o.ä. wäre verdammt nett.

07.05.2014, 19:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von dharma
3.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=3}^4 \sum\limits_{k=2}^i (i+k) \end{eqnarray*}$

Meinst du hier vorn nicht eher die Summationsvariable $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=3}^4 \sum\limits_{k=2}^i (i+k) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

P.S.: Die fehlenden LaTeX-Umgebungen wird hoffentlich bald ein freundlicher Moderator nachrüsten.

07.05.2014, 19:08

dharma

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Ja stimmt. Ich Trottel habe mich vertippt >.<. i statt k wäre richtig.

07.05.2014, 19:15

HAL 9000

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In 1.) wären Indexverschiebungen ganz zweckmäßig, d.h. vom Muster

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{100} (k+1)^2 - \sum\limits_{k=3}^{102} (k-2)^2 = \sum\limits_{r={\color{red}?}}^{{\color{red}?}} r^2 - \sum\limits_{s={\color{red}?}}^{{\color{red}?}} s^2 \end{eqnarray*}$ ,

die Fragezeichen ? bitte passend ausfüllen. Es stellt sich dann anschließend heraus, dass die Summationsbereiche von r und s sich weitgehend überlappen, wodurch bei dieser Differenz zweier Summen es zu massiver "Auslöschung" kommt (d.h. gleiche Summanden in beiden Summen heben sich durch die Differenz gegenseitig auf).

07.05.2014, 19:32

dharma

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Denke hin und her. Ich kann das aber mit der 'Indexverschiebung' irgendwie nicht verinnerlichen bzw. anwenden. Ich verstehe nicht was ich da voneinander abziehen soll/muss und was stehen bleibt bzw. wo der Index erhöht/verringert werden muss.

07.05.2014, 19:38

HAL 9000

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Naja, offenbar wird $\begin{eqnarray*} r=k+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s=k-2 \end{eqnarray*}$ gesetzt.

In der ersten Summe bedeutet dies: $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} k=100 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} r=101 \end{eqnarray*}$ .

Und in der zweiten Summe: $\begin{eqnarray*} k=3 \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} s=1 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} k=102 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} s=100 \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{100} (k+1)^2 - \sum\limits_{k=3}^{102} (k-2)^2 = \sum\limits_{r={\color{red}2}}^{{\color{red}101}} r^2 - \sum\limits_{s={\color{red}1}}^{{\color{red}100}} s^2 \end{eqnarray*}$ .

War das wirklich so schwer?

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07.05.2014, 19:51

dharma

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Und das ist bereits das endgültige Ergebnis?

07.05.2014, 19:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von dharma
Und das ist bereits das endgültige Ergebnis?

LESEN!!! Forum Kloppe

Forum Kloppe

Zitat:

Original von HAL 9000
Es stellt sich dann anschließend heraus, dass die Summationsbereiche von r und s sich weitgehend überlappen, wodurch bei dieser Differenz zweier Summen es zu massiver "Auslöschung" kommt (d.h. gleiche Summanden in beiden Summen heben sich durch die Differenz gegenseitig auf).

07.05.2014, 19:59

dharma

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Achja..Mathe war so immer meine große Liebe.

Das mit der massiven Auslöschung raff ich nicht ganz. Werden die Summen nun subtrahiert oder wie soll ich das verstehen. Soll da etwa 1 raus kommen?!

07.05.2014, 23:00

HAL 9000

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Ist es das Summensymbol, was dich lähmt? Oder was ist es, was dich vom Handeln abhält. unglücklich

unglücklich

Dann entfernen wir mal das Summensymbol:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r=2}^{101} r^2 = 2^2+ 3^2 +4^2 + \ldots + 100^2 + 101^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{s=1}^{100} s^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 99^2 + 100^2 \end{eqnarray*}$

Was passiert nun, wenn man von der oberen Summe die untere Summe subtrahiert?

08.05.2014, 00:26

dharma

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Ja dann kommt doch letztendlich 1² raus oder bin ich immer noch auf dem Holzpfad? Es tut mir Leid. Ich stell mich nicht so dumm, ich bin es einfach, wenn es um so was geht :S. Sorry, dass ich dich nerve. unglücklich

unglücklich

Gott

08.05.2014, 08:59

HAL 9000

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fassungslos...
Ich markiere mal die gemeinsamen Summanden rot:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r=2}^{101} r^2 = {\color{red}2^2+ 3^2 +4^2 + \ldots + 100^2} + 101^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{s=1}^{100} s^2 = 1^2 + {\color{red}2^2 + 3^2 + \ldots + 99^2 + 100^2} \end{eqnarray*}$

Es kommt also letztendlich raus

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r=2}^{101} r^2 - \sum\limits_{s=1}^{100} s^2 = 101^2 - 1^2 = 10200 \end{eqnarray*}$ .

08.05.2014, 09:09

dharma

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Nun ja. Jetzt leuchtet es mir auch ein.
Danke dir vielmals.

08.05.2014, 11:56

HAL 9000

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Vielleicht machen wir dann einfach mal weiter. Bei 2.) wäre ebenfalls eine Indexverschiebung passend, sagen wir $\begin{eqnarray*} i=k-1 \end{eqnarray*}$ . Die führst du mal selbst durch, und erinnerst dich dann noch an die Summenformel $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ (auch "kleiner Gauß" genannt), von der du doch sicher schon mal gehört hast.

Zu 3.) In diesem einfachen Fall mit so wenigen Summanden am besten die Summe einfach aufdröseln, von außen beginnend:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=3}^4 \sum\limits_{k=2}^i (i+k) = \underbrace{\sum\limits_{k=2}^3 (3+k)}_{\mbox{innere Summe für $i=3$}} + \underbrace{\sum\limits_{k=2}^4 (4+k)}_{\mbox{innere Summe für $i=4$}} = (3+2) + (3+3) + (4+2) + (4+3) + (4+4) = \ldots \end{eqnarray*}$ .

ausrechnen, fertig.

Klar hätte man hier auch über

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=3}^4 \sum\limits_{k=2}^i (i+k) = \sum\limits_{i=3}^4 \left( (i-1)i+\frac{i(i+1)}{2}-1 \right) = \ldots \end{eqnarray*}$

gehen können, und so würde man wohl auch vorgehen (müssen) bei variabler oberer Grenze der ersten Summe, d.h. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=3}^n \sum\limits_{k=2}^i (i+k) \end{eqnarray*}$ . Aber hier nur für $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ lohnt der Aufwand nicht.

08.05.2014, 14:44

dharma

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2.) 616605 ?
3.) 36 ?

08.05.2014, 15:08

HAL 9000

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Der Wert bei 2.) stimmt.

Bei 3.) findest du ja vielleicht einen Grundschüler, der das für dich nachrechnen kann.

08.05.2014, 15:11

dharma

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Ja, 32... Wurstfinger und smartphone keine gute combi. Danke aber nochmal für deine Hilfe. Mit Zunge

Mit Zunge

08.05.2014, 15:28

HAL 9000

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Wunderbar, was es heutzutage so für Ausreden gibt. Teufel

Teufel

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