Metriken erhalten offene Mengen

07.05.2014, 17:16	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Metriken erhalten offene Mengen Hallo, ich habe hier ein kleines Vertrauensproblem Sei $\begin{eqnarray} (M,d) \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum. Seien weiter $\begin{eqnarray} d_1(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d_2=\min(\{1,d(x,y)\}) \end{eqnarray}$ zwei zusätzliche Metriken auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Zu zeigen: für eine Menge $\begin{eqnarray} O\subseteq M \end{eqnarray}$ gilt: die Metriken sind bezüglich der Offenheit von $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ äquivalent. Dass offen bzgl $\begin{eqnarray} d_2 \end{eqnarray}$ die beiden anderen impliziert, habe ich schon zeigen können, genauso die Implikation offen bzgl $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ nach offen bzgl $\begin{eqnarray} d_1 \end{eqnarray}$ Nur bei einer Implikation hin zu $\begin{eqnarray} d_2 \end{eqnarray}$ bin ich mir absolut unsicher: Ich habe mich an einem indirekten Weg versucht, indem ich davon ausgehe, es gäbe ein $\begin{eqnarray} x\in O \end{eqnarray}$ , sodass bezüglich $\begin{eqnarray} d_2 \end{eqnarray}$ nur die Menge $\begin{eqnarray} \{x\} \end{eqnarray}$ (der Ball mit Radius null) in O liegt. Dann wäre x ein isolierter Punkt von O. Jetzt möchte ich mir daraus einen Widerspruch dazu basteln, dass O offen bezüglich einer der anderen Metriken ist. Dazu zeige ich, dass für $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ immer gilt: $\begin{eqnarray} d_1(x,y)<d_2(x,y) \end{eqnarray}$ . Jetzt komme folgt daraus, dass für ein r gilt $\begin{eqnarray} O \supseteq\{y\in M\|\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}<r\}\subseteq \{y\in M\|\min(\{1,d(x,y)\})<r\}\not\subseteq O \end{eqnarray}$ , Widerspruch. Nur: passt das auch? Ich habe irgendwie Bauchschmerzen bei der ganzen Sache Lg kgV
07.05.2014, 19:21	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe jetzt den Fehler gefunden: wenn eine Teilmenge in O liegt, kann die Obermenge dennoch nicht drin liegen. Stellt mich vor das Problem: wie zeige ich die Implikation dann?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »