Maximum und Minimum beweisen

07.05.2014, 20:54

Estra

Maximum und Minimum beweisen

Meine Frage:
Hallo!

Ich bräuchte einmal bei folgender Aufgabe Unterstützung:

Es sei K ein angeordneter Körper. Für je zwei Elemente x,y in K definieren wir

$\begin{eqnarray*} max(x,y):= x, \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \geq y, \end{eqnarray*}$ sonst $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} min(x,y):= y, \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \geq y, \end{eqnarray*}$ sonst $\begin{eqnarray*} x. \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie für x,y in K die folgenden Aussagen.

$\begin{eqnarray*} (i) max(x,y) = - min(-x,-y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (ii) max(x,y) = 1/2(x+y+|x-y|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (iii) min(x,y) = 1/2(x+y-|x-y|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (iv) |x| = max(x,-x). \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
für (ii) bin ich auf folgendes gekommen:

1. Fall: falls x >= y

max(x,y) = 1/2(x+y+x-y) (denn wenn x > y wird der Betrag positiv und man kann die Betragstriche weglassen)

=1/2(2x)
=x.

Also wenn x größer y, dann folgt max(x,y) = x.

Und falls x < y:

max(x,y) = 1/2 (x+y+y-x)

= 1/2(2y)

= y.

Wäre das ein richtiger Beweis?
Falls ja, dann bräuchte ich trotzdem Hilfe bei den drei anderen Aufgaben.. und falls nicht, dann sowieso Big Laugh

Viele Grüße!

08.05.2014, 09:28

klarsoweit

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RE: Maximum und Minimum beweisen

Zitat:

Original von Estra
Wäre das ein richtiger Beweis?

Ja, keine Einwände.
Und die anderen Aufgaben sind auch keine unüberwindlichen Hürden. smile

08.05.2014, 12:36

Estra

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RE: Maximum und Minimum beweisen
Alles klar Big Laugh

dann mal eine Frage zu (iv):

Ist es wirklich so trivial, wie ich denke?

|x| ist ja definiert als x, falls x >= 0 und -x, falls x<0

also muss doch automatisch gelten |x|=max(x,-x)

Oder nicht??

und bei (i), da weiß ich echt gar nicht, wie ich das beweisen soll mit dem -min... verwirrt

08.05.2014, 12:43

klarsoweit

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RE: Maximum und Minimum beweisen

Zitat:

Original von Estra
also muss doch automatisch gelten |x|=max(x,-x)

Nun ja, was heißt "automatisch"? Bevor man sich auf irgendwelche Diskussionen einläßt, wäre es doch einfacher, mal
hinzuschreiben, was max(x,-x) für x >= 0 und x < 0 ist. smile

Zitat:

Original von Estra
und bei (i), da weiß ich echt gar nicht, wie ich das beweisen soll mit dem -min...

Du brauchst doch wie gehabt nur die Fälle x >= y und x < y behandeln.

08.05.2014, 13:29

Estra

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RE: Maximum und Minimum beweisen

Zitat:

Original von klarsoweit

Nun ja, was heißt "automatisch"? Bevor man sich auf irgendwelche Diskussionen einläßt, wäre es doch einfacher, mal
hinzuschreiben, was max(x,-x) für x >= 0 und x < 0 ist. smile

max(x,-x) ist für x >= 0, x und für x < 0 -x.
Richtig?

Zitat:

Original von klarsoweit
und bei (i), da weiß ich echt gar nicht, wie ich das beweisen soll mit dem -min...

Du brauchst doch wie gehabt nur die Fälle x >= y und x < y behandeln.[/quote]

max(x,y) = x, falls x >= y
und y, falls x < y

-min(-x,-y) = x, falls x >= y, da -x < -y, wenn x >= y
und y, falls x < y, da -x > -y, wenn x < y.

So etwa? Erstaunt2

08.05.2014, 13:56

klarsoweit

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RE: Maximum und Minimum beweisen
Ja. Man könnte noch erwähnen, daß für x >= 0 x > -x ist, woraus dann max(x,-x) = x folgt. Analog für x < 0. smile

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