Richtungsableitungen bestimmen

07.05.2014, 21:45

Lynn2

Richtungsableitungen bestimmen

Meine Frage:
Welche Richtungsableitungen existieren von $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \sqrt{| xy | } \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} \left(0,0\right) \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Ich kann mit der Aufgabe leider nichts anfangen, da wir bis jetzt immer nur Richtungsableitungen bestimmt haben mit Hilfe eines Richtungsvektors.
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus. smile

08.05.2014, 09:33

Ehos

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Verwende Polarkoordinaten

$\begin{eqnarray*} x=R\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=R\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Damit vereinfacht sich deine Funktion zu

$\begin{eqnarray*} f(R,\phi)=R\cdot \sqrt{|\sin(\phi)\cos(\phi)|} \end{eqnarray*}$

Mit der Formel $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)\cos(\phi)=\tfrac{1}{2}\sin(2\phi) \end{eqnarray*}$ wird daraus

$\begin{eqnarray*} f(R,\phi)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}R\cdot \sqrt{|\sin(2\phi)|} \end{eqnarray*}$

Die Richtungsableitung im Ursprung R=0 existiert nur für solche Richtungen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , für welche die Funktion $\begin{eqnarray*} f(R,\phi) \end{eqnarray*}$ bei R=0 keinen "Knick" hat. Das ist nur für diejenigen Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ der Fall, welche ein Vielfaches von 45° sind.

08.05.2014, 15:12

Lynn2

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Muss es nicht heißen:
$\begin{eqnarray*} f (R, \phi) = \frac {1}{\sqrt{2}} R \cdot \sqrt{|sin (2 \phi)|} \end{eqnarray*}$

08.05.2014, 15:18

Math1986

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Zitat:

Original von Lynn2
Muss es nicht heißen:
$\begin{eqnarray*} f (R, \phi) = \frac {1}{\sqrt{2}} R \cdot \sqrt{|sin (2 \phi)|} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ (erweitern mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ )

08.05.2014, 15:36

Lynn2

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Mit dieser Funktion muss ich nun die Richtungsableitung bilden, nun stellt sich mir jedoch die Frage wie ich beim Gradienten den Punkt (0,0) in den Gradienten einsetzen kann, da ich ja x und y ersetzt habe.

08.05.2014, 15:49

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} f_R = \sqrt {|sin \phi \cdot cos \phi|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_ \phi= \frac {R}{2} (|sin \phi \cdot cos \phi|)^{-0,5} \cdot (cos \phi cos\phi - sin \phi sin\phi) \end{eqnarray*}$

wobei ich $\begin{eqnarray*} f= R \sqrt {|sin \phi \cdot cos \phi|} \end{eqnarray*}$ genutzt habe als Ausgangsfunktion

$\begin{eqnarray*} grad f (0,0) = ( f_R(0,0), f_ \phi (0,0)) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich da nun die 0 einsetzen?

09.05.2014, 09:20

Ehos

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Ich habe dir geschrieben, dass die Funktion in Polarkoordinaten lautet

$\begin{eqnarray*} f(R,\phi)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot R\cdot \sqrt{|\sin(2\phi)|} \end{eqnarray*}$

Stelle dir diese Funktion als Temperaturverteilung innerhalb der xy-Ebene vor, wobei f die Temeratur am Punkt $\begin{eqnarray*} (R,\phi) \end{eqnarray*}$ ist. Ein Käfer krabbelt auf der Geraden, die durch den Nullpunkt geht, und misst entlang dieser Geraden die Temperatur. Nur für 2 Richtungen ist die Temperatur f im Ursprung (0;0) differenzierbar. Und nur für diese beiden Richtungen existiert also im Ursprung die Richtungsableitung
------------------------------
Richtung Nr. 1: entlang der x-Achse y=0, also beim Winkel $\begin{eqnarray*} \phi=0° \end{eqnarray*}$ . Einsetzen dieses Winkels in die Funktion ergibt

$\begin{eqnarray*} f(R,\phi)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot R\cdot \underbrace{\sqrt{|\sin(2\cdot 0°)|}}_{=0}=0 \end{eqnarray*}$

Die Funktion f hat also entlang dieser Geraden überall den Wert 0 und ist somit überall differenzierbar.
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Richtung Nr. 2: entlang der y-Achse x=0, also beim Winkel $\begin{eqnarray*} \phi=90° \end{eqnarray*}$ . Einsetzen dieses Winkels in die Funktion ergibt

$\begin{eqnarray*} f(R,\phi)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot R\cdot \underbrace{\sqrt{|\sin(2\cdot 90°)|}}_{=0}=0 \end{eqnarray*}$

Die Funktion f hat also entlang dieser Geraden ebenfalls überall den Wert 0 und ist somit überall differenzierbar.

---------------------------------

Gegenbeispiel:
Wählt man eine andere Richtung, z.B. die Gerade y=x, so betrüge der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi=45° \end{eqnarray*}$ . In diesem Falle würde die Funktion lauten

$\begin{eqnarray*} f(R,\phi)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot R\cdot \underbrace{\sqrt{|\sin(2\cdot 45°)|}}_{=1}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot R \end{eqnarray*}$

Da der Radius R immer positiv ist und mit wachsendem Abstand vom Ursprung (0,0) zunimmt, hätte die Funktion f im Ursprung (0;0), also bei R=0, einen "Knick", so dass dort die Richtungsableitung nicht existieren würde.

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