sinx + cosx = 0.1 |
07.05.2014, 22:22 | KST2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sinx + cosx = 0.1 Hallo, ich versuche gerade folgende Gleichung zu lösen: Meine Ideen: Ist es richtig, zunächst umzuformen? Ich habe gelesen, dass die Möglichkeit des Quadrierens (wegen der entstehenden falschen Lösungen) vermieden werden soll. |
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07.05.2014, 23:12 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, aber das heißt nicht, die Gleichung verkomplizieren zu müssen. Die passende Idee ist hier, in einen phasenverschobenen Sinus oder Kosinus zu verwandeln: Multiplikation mit liefert und dann normal den Sinus umkehren. |
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07.05.2014, 23:33 | KST2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist dies die Lösung oder muss noch etwas folgen? |
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08.05.2014, 08:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist eine Lösung, nicht alle. Das ist ja hoffentlich nicht das erste Mal, dass du den Sinus umkehren musst. Die x-Koordinaten aller Schntittpunkte von roter und gründer Kurve sind reelle Lösungen - bisher hast du nur die von dem Schnittpunkt direkt links der y-Achse angegeben. Also hast du noch etwas zu tun. |
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08.05.2014, 10:01 | KST2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, ist leider mein erstes Mal, daher brauche ich nun Hilfe. |
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08.05.2014, 10:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nutze die 2pi-Periodizität des sinus: ist x_0 eine Lösung von , dann auch mit ganzzahligem k. Dazu brauchst du natürlich alle Lösungen auf dem Intervall [0; 2pi]. EDIT: HAL9000 war gerade offline. Bin dann wieder raus. |
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08.05.2014, 11:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, und mit den beiden Grundlösungen einerseits sowie andererseits entstehen auf diese Weise zwei Lösungszweige der Gleichung , jeder Zweig enthält unendlich viele Lösungen im Abstand . Nur in den Randfällen sowie stimmen beide Zweige überein (sind also genau genommen nur ein Zweig), für sind sie aber echt verschieden, so auch hier bei dieser Aufgabe mit .
Wegen mit brauchst du dich nicht zurückziehen. Erst recht nicht in so einer Art Thread wie hier. |
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08.05.2014, 12:18 | KST2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal vielen Dank für die Hilfe! Könnt ihr mir bitte einmal die endgültigen Lösungen geben, damit ich das nachrechnen und nachvollziehen kann? |
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08.05.2014, 12:46 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein besseres Danke wäre, wenn du dir die Beiträge von klarsoweit und mir wirklich durchlesen würdest: Denn da stehen die Lösungen doch da - ausgenommen die zu beachtende Phasenverschiebung um . |
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08.05.2014, 14:07 | KST2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sind die Lösungen dann wie folgt? |
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08.05.2014, 14:18 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist sozusagen die halbe Miete. Jetzt noch dieses beachten:
und die weitere Lösung in analoger Weise behandeln. |
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08.05.2014, 14:27 | KST2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zusätzliche Lösungen? |
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08.05.2014, 14:51 | KST2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hätte noch folgende Frage: Wie kommt man auf ? |
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08.05.2014, 14:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. (Üblicherweise wird das 2k*pi addiert, aber meinetwegen kann man es auch subtrahieren.)
Da braucht man sich nur den Graphen der Sinus-Funktion ansehen: Ist sin(x_0) = a, dann ist auch Ist also x_0 = arcsin(a) eine Lösung, dann auch . |
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08.05.2014, 14:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Sinusfunktion weist die Symmetrie auf - schau dir doch mal deren Graph an! P.S. Ich bin manchmal ziemlich erschüttert, wie wenig Schulstoff zu Winkelfunktionen bei vielen Studenten hängengeblieben ist. |
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