sinx + cosx = 0.1

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KST2000 Auf diesen Beitrag antworten »
sinx + cosx = 0.1
Meine Frage:
Hallo,

ich versuche gerade folgende Gleichung zu lösen:



Meine Ideen:
Ist es richtig, zunächst umzuformen?



Ich habe gelesen, dass die Möglichkeit des Quadrierens (wegen der entstehenden falschen Lösungen) vermieden werden soll.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KST2000
Ich habe gelesen, dass die Möglichkeit des Quadrierens (wegen der entstehenden falschen Lösungen) vermieden werden soll.

Richtig, aber das heißt nicht, die Gleichung verkomplizieren zu müssen. Augenzwinkern

Die passende Idee ist hier, in einen phasenverschobenen Sinus oder Kosinus zu verwandeln: Multiplikation mit liefert





und dann normal den Sinus umkehren.
KST2000 Auf diesen Beitrag antworten »












Ist dies die Lösung oder muss noch etwas folgen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist eine Lösung, nicht alle. Das ist ja hoffentlich nicht das erste Mal, dass du den Sinus umkehren musst.



Die x-Koordinaten aller Schntittpunkte von roter und gründer Kurve sind reelle Lösungen - bisher hast du nur die von dem Schnittpunkt direkt links der y-Achse angegeben. Also hast du noch etwas zu tun.
KST2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, ist leider mein erstes Mal, daher brauche ich nun Hilfe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nutze die 2pi-Periodizität des sinus: ist x_0 eine Lösung von , dann auch mit ganzzahligem k.
Dazu brauchst du natürlich alle Lösungen auf dem Intervall [0; 2pi].

EDIT: HAL9000 war gerade offline. Bin dann wieder raus.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, und mit den beiden Grundlösungen einerseits sowie andererseits entstehen auf diese Weise zwei Lösungszweige der Gleichung , jeder Zweig enthält unendlich viele Lösungen im Abstand .

Nur in den Randfällen sowie stimmen beide Zweige überein (sind also genau genommen nur ein Zweig), für sind sie aber echt verschieden, so auch hier bei dieser Aufgabe mit .


Zitat:
Original von klarsoweit
EDIT: HAL9000 war gerade offline. Bin dann wieder raus.

Wegen mit brauchst du dich nicht zurückziehen. Erst recht nicht in so einer Art Thread wie hier. Augenzwinkern
KST2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für die Hilfe!

Könnt ihr mir bitte einmal die endgültigen Lösungen geben, damit ich das nachrechnen und nachvollziehen kann?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KST2000
Könnt ihr mir bitte einmal die endgültigen Lösungen geben

Ein besseres Danke wäre, wenn du dir die Beiträge von klarsoweit und mir wirklich durchlesen würdest: Denn da stehen die Lösungen doch da - ausgenommen die zu beachtende Phasenverschiebung um .
KST2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sind die Lösungen dann wie folgt?



klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist sozusagen die halbe Miete. Jetzt noch dieses beachten:
Zitat:
Original von HAL 9000
Genau, und mit den beiden Grundlösungen einerseits sowie andererseits entstehen auf diese Weise zwei Lösungszweige

und die weitere Lösung in analoger Weise behandeln.
KST2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zusätzliche Lösungen?



KST2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte noch folgende Frage:

Wie kommt man auf ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Freude
(Üblicherweise wird das 2k*pi addiert, aber meinetwegen kann man es auch subtrahieren.)

Zitat:
Original von KST2000
Wie kommt man auf ?

Da braucht man sich nur den Graphen der Sinus-Funktion ansehen:
Ist sin(x_0) = a, dann ist auch

Ist also x_0 = arcsin(a) eine Lösung, dann auch .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KST2000
Wie kommt man auf ?

Die Sinusfunktion weist die Symmetrie auf - schau dir doch mal deren Graph an!

P.S. Ich bin manchmal ziemlich erschüttert, wie wenig Schulstoff zu Winkelfunktionen bei vielen Studenten hängengeblieben ist. unglücklich
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