Schnittmenge drei Ebenen

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menechri Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittmenge drei Ebenen
Hallo,

hab ne Frage zu dem Bsp:

Berechne die Schnittmenge der drei Ebenen:

E1: x + 5y + 3z = 4

E2: 2x + y + 9z = -19

E3: x + 2y + 4z = -5


Also ich hab im Internet auf paar Seiten bisschen was dazu gefunden aber konkret haben mir die Sachen bei meinem Bsp nichts geholfen,hab ein bisschen was versucht aber bin zu keinem richtigen Ergebnis gekommen. Kann mir jemand die einzelnen Schritte erklären bzw. den Lösungsweg ? (Ich glaube die drei Ebenen sind weder ident noch paralell zueinander (?)-vielleicht ist meine Annahme aber auch völlig falsch)

Bin für jede Hilfe dankbar! Cheers

PS: Lösung ist g: X = (-11/3/0) + t * (-14/1/3)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In allgemeinster Lage schneiden sich 3 Ebenen in einem Punkt.
Wenn allerdings der Schnitt eine Gerade darstellt, haben die Ebenen bereits eine besondere Lage (hier --> Ebenenbüschel).

Dies dokumentiert sich auch entsprechend bei der Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystemes (LGS). Im ersten Fall hat das System genau eine Lösung, im zweiten Fall eine einparametrige Lösungsmenge (Freiheitsgrad 1, 1 Parameter --> Gerade), eine Gleichung ist von den anderen beiden abhängig, man spricht von einem abhängigen System.

Löse also das LGS mittels einer dir bekannten Lösungsmethoden. Weil dabei eine Gleichung redundant wird, kann eine der Variablen durch einen Parameter oder durch einen Ausdruck in diesem ersetzt werden und man erhält die bereits angegebene Parameterlösung.

Hinweis:
Der Stützpunkt bei der Parameterdarstellung wird nicht eindeutig sein, er hängt davon ab, auf welche Weise eine Variable durch einen Parameter(ausdruck) ersetzt wird. Das ist auch insoferne klar, weil als Stützpunkt jeder beliebige Punkt auf der Geraden fungieren kann.
Eindeutig jedoch ist der Richtungsvektor (-14; 1; 3), welcher sich bei allen Varianten ergeben muss.

mY+
menechri Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Danke für die Hilfe mir kommt jetzt die richtige Geradengleichung heraus, genauso wie in der Lösung angegeben. Jetzt sind da noch zwei Kompetenz fragen:

1.) Welche prinzipiell verschiedene Fälle können auftreten?

2.) Was bedeutet das jeweils für die Lösungsmenge des zugehörigen linearen Gleichungssystems von drei Gleichungen mit drei Variablen?

Meine Antworten wären: 1.) sie können ident sein, windschief oder parallel. stimmt das so oder ist das zu ungenau?

2.) Keine Ahnung ehrlich gesagt; ich hätte gemeint das sie sich in einem Punkt treffen und eine Schnittgerade/Trägergerade haben (Weil es 3 Ebenen sind)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Windschief können Geraden sein, jedoch nicht Ebenen, denn in diesem Moment schneiden sie einander in einer Geraden.
Für die verschiedenen Lagen bei 3 Ebenen kommen auch weit mehr als 2 oder 3 Fälle zur Diskussion, deren gibt es mindestens 8.

Neben identischen und parallelen Lagen sind besonders die Fälle: 3 Ebenen durch eine Gerade (Ebenenbüschel), 3 Ebenen durch einen Punkt (Ebenenbündel), eine Ebene schneidet 2 parallele und jener Fall, in welchem die 3 Ebenen parallel zu einer Geraden sind, von Bedeutung.
Was dies jeweils für die Lösbarkeit des zugehören linearen Gleichungssystemes bedeutet, könntest du zunächst einer eigenen Betrachtung unterziehen.

Eine allgemeine Zusammenfassung werde ich dir jetzt nicht geben, schließlich sollst du auch selbst die Initiative ergreifen. Gezielte Fragen dazu beantworten wir natürlich schon.

mY+
kev04 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal eine Frage zum Thema aus reiner Neugier. Muss den unbedingt der angegeben Richtungsvektor herauskommen oder kann es auch ein vielfacher von ihm sein? Denn eine Gerade wird ja immer durch einen Stütz(Orts)Vektor und Richtungsvektor angegeben, aber jedes vielfache des RV beschreibt mit passenden Ortsvektor die selbe Gerade oder bin ich hier fehl informiert und wenn ja in welchem Punkt.
MfG
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Richtungsvektor ist bis auf sein (reelles) Vielfaches bestimmt, d.h. alle Vielfache sind ebenso zugelassen, weil sie dieselbe Gerade bestimmen.
Dies gilt übrigens auch für die Richtungsvektoren (Spannvektoren) in Ebenen.

mY+
 
 
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