Normalisator

08.05.2014, 09:17	Gnus	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalisator Hallo! Ich berarbeite gerade folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} U,A \end{eqnarray}$ Untergruppen von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ein abelscher Normalteiler von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} AU=G. \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: Dann ist $\begin{eqnarray} A \cap U \end{eqnarray}$ Normalteiler in G. Ich habe bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray} A \subseteq N_G(A\cap U) \end{eqnarray}$ . *Ich möchte nun noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} U\subseteq N_G(A\cap U) \end{eqnarray}$ gilt, denn dann folgt wegen $\begin{eqnarray} AU=G \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} AU =G \subseteq N_G(A\cap U) \end{eqnarray}$ ist und somit $\begin{eqnarray} N_G(A\cap U)=G \end{eqnarray}$ . Mit der Äquivalenz " $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ Normalteiler in G $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow N_G(U)=G \end{eqnarray}$ "(welche ich schon bewiesen habe), folgt dann die Behauptung. Meine Ansatz: Es ist $\begin{eqnarray} U \subseteq N_G(U) \end{eqnarray}$ . Nun hatte ich die Idee, dass vielleicht $\begin{eqnarray} N_G(U) \subseteq N_G(A\cap U) \end{eqnarray}$ gilt, da $\begin{eqnarray} A \cap U \subseteq U \end{eqnarray}$ . Allerdings machte dies beim zweiten Gedanken wenig Sinn, da zwar "für weniger Elemente die Gleichheit gelten muss, aber auch die Menge in der sie landen müssen kleiner ist". Kann mir jemand dabei helfen $\begin{eqnarray} U\subseteq N_G(A\cap U) \end{eqnarray*}$ zu zeigen? MfG
08.05.2014, 09:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} U \subset N_G(A \cap U) \end{eqnarray}$ ist klar, denn es gilt $\begin{eqnarray} uAu^{-1}=A \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ Normalteiler ist und $\begin{eqnarray} uUu^{-1}=U \end{eqnarray}$ ist trivial.
08.05.2014, 09:32	Gnus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke Dir. Ich bin nicht auf die Idee gekommen $\begin{eqnarray} uAu^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} uUu^{-1} \end{eqnarray}$ einzeln zu betrachten. So verstehe ich es.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »