Wasserstand berechnen - Archimedisches Prinzip bei Integralbeispielen?

08.05.2014, 10:42	Jucyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Wasserstand berechnen - Archimedisches Prinzip bei Integralbeispielen? Hallo alle zusammen! Ich habe eine kleine Frage zum Thema Integralrechnung/Kegelschnitte, in Kombination mit dem archimedischen Prinzip. Wenn ich beispielsweise eine Hyperbel habe und diese dann um die y-Achse rotieren lasse, und eine Schüssel erhalte, kann ich dann eben das Volumen mithilfe der Integralrechnung bestimmen. Angenommen ich habe einen Körper mit einem bestimmen Volumen Vk, gebe den in die mit Wasser gefüllte (sagen wir bis zur Grenze g) Schüssel. Der Körper verdrängt ja nun sein Volumen Vk, und der Wasserspiegel in der Schüssel steigt. Meine Frage ist nun: Welche Rechenschritte müsste ich vornehmen, um den neuen Wasserstand herauszufinden? Vielen lieben Dank schonmal im voraus! Liebe Grüße, Jucy
08.05.2014, 11:00	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wasserstand berechnen - Archimedisches Prinzip bei Integralbeispielen? Guten Tag, zu Deiner Frage habe ich erst einmal Fragen: Welche Lage in Bezug zum Koordinatensystem hat die Hyperbel? Schwimmt der Körper im Wasser? Grundsätzlich wird von Dir erwartet, dass Du aus dem nun bekannten Volumen ( $\begin{eqnarray} V_{W} + V_{K} \end{eqnarray}$ ) die neue Obergrenze des Integrals bestimmst.
08.05.2014, 11:23	Jucyx	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Also ich habe die 1. Hauptlage angenommen. 2. Gute Frage. Das weiß ich eben nicht, weil ich kein konkretes Beispiel sondern nur einen Hinweis bekommen habe, dass das archimedische Prinzip für die morgige Prüfung relevant sein könnte. Wenn ich einen Stein hineingebe, ist klar, dass er sein ganzes Volumen verdrängt. Wenn jetzt etwas im Wasser schwimmt, muss ich dann auf die Dichte achten und erst schauen, wie groß der Teil ist, der Wasser verdrängt? Wenn ja, gibts da eine Formel? Mach ich das mit der neuen Grenze einfach so, dass ich das neue Volumen mit dem Integral gleichsetze? [attach]34190[/attach] Kann ich praktisch die neue Obergrenze vom TR berechnen lassen?
08.05.2014, 11:35	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir an, das Wasservolumen ist: $\begin{eqnarray} V_W = \pi\int_u^o(f(y))^2 dy \end{eqnarray}$ mit u als Untergrenze und o als Oberfläche, dann wäre das Volumen von Wasser + Stein (wobei Stein als Bezeichnung für einen nicht schwimmfähigen Körper steht) $\begin{eqnarray} V_{neu} = V_W + V_S = \pi \int_u^{h} (f(y))^2 dy \end{eqnarray}$ Und das ist eine Bestimmungsgleichung für h, die neue Höhe des Wasserstandes. Bei einem schwimmfähigen Körper müsstest Du aus $\begin{eqnarray} Dichte = \frac{Masse}{Volumen} \end{eqnarray}$ die Masse bestimmen, die mit der Masse des verdrängten Wassers übereinstimmt.
08.05.2014, 11:47	Jucyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen herzlichen Dank, jetzt macht's Sinn! Wünsche noch einen schönen Tag.
08.05.2014, 11:50	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen + viel Erfolg!
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