Doppelpost! Maximum einer Funktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

08.05.2014, 12:53	Stativa	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum einer Funktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Meine Frage: Ich betrachte den Versuch, die Population eines Fischbestandes zu berechnen. Die Gesamtpopulation sind N=r+s Fische, s ist unbekannt. Beim ersten Fangen werden r Fische gefangen und markiert und dann wieder freigelassen. Beim zweiten Fangen werden n Fische gefangen und es wird davon ausgegangen, dass k Fische von diesen n markiert sind. In meinem Buch wird eine hypergeometrische Verteilung benutzt um die Wahrscheinlichkeit für das Fangen k markierter Fische zu bestimmen. Sie sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} p_{k} =\frac{\begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ n-k \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} r+s \\ n \end{pmatrix} } \end{eqnarray}$ Es wird dann erklärt, dass man intuitiv ja erwartet, dass das Verhältnis r/N etwa so ist wie das von k/n. Also formt man um und bekommt $\begin{eqnarray} n\cdot \frac{r}{k} \end{eqnarray}$ als "Schätzer" (den man ja sucht). Was dann kommt, verstehe ich nicht: Die Wahrscheinlickeit $\begin{eqnarray} p_{k} \end{eqnarray}$ wird bei festem Versuchsergebnis k als Funktion von s aufgefasst und soll dann ihr Maximum bei $\begin{eqnarray} \frac{nr}{k}- r \end{eqnarray}$ haben. Um darauf zu kommen bildet man diesen Term : $\begin{eqnarray} \frac{p_{k}(s) }{p_{k}(s-1) } \end{eqnarray}$ . Warum bildet man diesen Term, um an das Maximum der Funktion zu kommen? Meine Ideen:* Ich verstehe den intuitiven Ansatz für die Schätzung und auch, dass man versuchen möchte, die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, mit der eine bestimmte Stichprobe "auftauchen" soll. Leider kann ich mir den zuletzt beschriebenen Quotienten nicht erklären. Kann mir jemand helfen? Bin dankbar für jede Antwort! Edit[Kasen75]:Latex-Klammern gesetzt.
08.05.2014, 13:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ziel ist die Bestimmung des Maximums der Funktion $\begin{eqnarray} s\mapsto p_k(s) \end{eqnarray}$ , wobei die Werte $\begin{eqnarray} p_k(s) \end{eqnarray}$ alle positiv sind - zumindest im "interessanten" Bereich der Maximumsuche. Also ist folgendes Vorgehen nachvollziehbar: Man betrachtet den Quotienten $\begin{eqnarray} q_k(s) := \frac{p_k(s)}{p_k(s-1)} \end{eqnarray}$ . Ist nun $\begin{eqnarray} q_k(s)>1 \end{eqnarray}$ , so bedeutet dies ja $\begin{eqnarray} p_k(s-1)<p_k(s) \end{eqnarray}$ , d.h. die Funktion "wächst" an der Stelle. Ist aber $\begin{eqnarray} q_k(s)<1 \end{eqnarray}$ , so bedeutet dies $\begin{eqnarray} p_k(s-1)>p_k(s) \end{eqnarray}$ , d.h. die Funktion "fällt" an der Stelle. Bei der hypergeometrischen Verteilung hier stellt sich nun heraus (im Laufe der Rechnung), dass wir zunächst durchgängig $\begin{eqnarray} q_k(s)>1 \end{eqnarray}$ haben für $\begin{eqnarray} n-k+1 \leq s\leq s^ \end{eqnarray}$ , und dann ab diesem Punkt $\begin{eqnarray} q_k(s)\leq 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} s> s^* \end{eqnarray}$ , wobei das $\begin{eqnarray} =1 \end{eqnarray}$ allenfalls noch für genau $\begin{eqnarray} s=s^+1 \end{eqnarray}$ gelten kann. Im Lichte der Vorbetrachtungen heißt das dann, dass $\begin{eqnarray} s\mapsto p_k(s) \end{eqnarray}$ sein Maximum an der Stelle $\begin{eqnarray} s=s^ \end{eqnarray}$ annimmt. Und zur Frage: Warum ausgerechnet Quotient, und nicht etwa Differenz - mit der gehen ja ähnliche Betrachtungen! Antwort: Weil beim Quotienten $\begin{eqnarray} q_k(s) = \frac{p_k(s)}{p_k(s-1)} \end{eqnarray}$ die beteiligten Binomialkoeffizienten durch mögliches massives Kürzen kollabieren, am Ende bleibt ein übersichtlicher Bruch ohne jegliche Binomialkoeffizienten oder Fakultäten übrig, für den man dann sehr leicht die Bedingung $\begin{eqnarray} q_k(s)<1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray*}$ umstellen kann.
11.05.2014, 17:09	Stativa	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum-Likelihood-Schätzer Vielen Dank für die Antwort! Nach einiger Zeit und mithilfe meines Buches habe ich das jetzt verstanden. Ich habe heute eine weitere Frage: Ich bin bei der Verwendung der log-Funktion bei dem Finden eines Maximum-Likelihood-Schätzers angekommen. In meinem Buch steht, dass "aus Monotoniegründen" die log-Funktion ihren Maximalwert immer an der gleichen Stelle hat wie die Likelihood-Funktion. Nun frage ich mich, wieso das so ist, weil doch die Lieklihoodfunktion bei verschiedenen Zähldichten je nach Aufgabe unterschiedlich ist? Wie ist der Zusammenhang zur Monotonie der log-Funktion? Bin wieder dankbar für jegliche Hilfe! LG Stativa Edit opi: Die neue Frage wird hier bearbeitet.

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