Min und Max der reellen Zahlen beweisen

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MarioH Auf diesen Beitrag antworten »
Min und Max der reellen Zahlen beweisen
Meine Frage:
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen für alle reellen Zahlen x, y gelten:

Max{x, y} = (x + y + |x + y|)/2 und
Min{x, y} = (x + y - |y - x|)/2

Zeigen Sie für x, y aus R die Ungleichung

|xy| <= ½(x²+y²)


Meine Ideen:
?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würdest du denn anfangen?
MarioH Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Ansatz
Für Aufgabenteil b) war das mein Ansatz:

|xy| <= 1/2(x²+y²) |*2
2|xy| <= x²+y² |²
2x²y² <= x^4 + 2x²y² + y^4 |:2x²y²
1 <= x^4 + y^4

Da aber x und y ja beliebig klein sein können, trifft das nicht zu. Ich hab also wohl was falsch gemacht.
unglücklich
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Bringe alles auf eine Seite. Dann sieh genau hin. Das was entsteht sollte dir bekannt vor kommen.
MarioH Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe die erste binomische Formel, die ich dann noch zurück formen kann:

1 <= (|x|+|y|)^2

Oder ich könnte es auch als Summenformel angeben. Da sehe ich aber immernoch dasselbe Problem.
Gurki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MarioH
Ich sehe die erste binomische Formel, die ich dann noch zurück formen kann:

1 <= (|x|+|y|)^2

Oder ich könnte es auch als Summenformel angeben. Da sehe ich aber immernoch dasselbe Problem.


Warum fängst Du nicht mit



an?
 
 
MarioH Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke smile

Aber damit habe ich doch schon für ein beliebiges x und y eine positive Zahl, denn selbst wenn x<y wird es ja durch das quadrieren wieder positiv.
Muss ich hier noch weiter argumentieren?
Gurki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MarioH
Muss ich hier noch weiter argumentieren?


Nö, das sollte so genügen.
MarioH Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke smile

Nun zu dem Teil a):
Ich habe hier auf der Seite folgenden Beitrag gefunden mit der Threadid 540554. Ich kann leider keinen Link posten.

Als erstes habe ich meine Maxfunktion falsch abgeschrieben. Das innerhalb des Betrages sollte |y-x| sein wie auch bei der Min.
Bei dem Link steht es allerdings mit |x-y|. Kann es sein, dass unsere Dozentin uns da die falschen Funktionen gegeben hat?
Gurki Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in der Max-Definition ist ein Vorzeichenfehler enthalten.


Richtig ist




Beiweisen kann man das z.B. so:

Sei OBdA

Dann ist und es gilt




Und für kannst Du analog vorgehen.
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will mich nicht einmischen, aber ich gehe davon aus, dass Du, MarioH, Studienangfänger bist und leider gewöhnen sich viele Anfänger eine sehr schlechte Angewohnheit an, nämlich mit der Behauptung anzufangen und sie zu etwas wahrem umzuformen. Ich beziehe mich auf die oben erarbeitete Lösung von Aufgabenteil b). Der erarbeitete Lösungsweg sieht ja in Reinschrift so aus:






Was ist hier passiert? Man hat mit der Behauptung agefangen und diese zu einer wahren Aussage umgeformt. Das ist aber kein Beweis. Ich kann zum Beispiel auch behaupten und dies wie folgt beweisen:




also habe ich meine Behauptung zu einer wahren Aussage umgeformt. Der Fehler liegt natürlich darin, dass die Multiplikation mit 0 nicht umkehrbar ist, soll heißen: der Umformungsschritt ist keine Äquivalenzumformung. Der obige Beweis für besteht zum Glück tatsächlich nur aus Äquivalenzumformungen (insbesondere ist das Quadrieren von positiven Zahlen umkehrbar! Wenn man beliebige Zahlen quadriert, ist das nicht mehr so einfach...), deswegen ist der Beweis richtig, falls du bei jeder Umformung die Äquivalenzpfeile setzt. Denn: Ein Beweis besteht daraus, dass man die Behauptung aus einer wahren Aussage folgert - nicht umgekehrt.

Nun ist es in der Mathematik eher selten, dass Beweise ausschließlich aus Äquivalenzumformungen bestehen. Deshalb die Empfehlung: Gewöhn dir das nicht an, mit der Behauptung anzufangen! Mach's wie Gurki vorgeschlagen hat:

Zitat:
Warum fängst Du nicht mit



an?


soll heißen: mach den Beweis wie oben, aber genau andersherum, sodass die erste Zeile ein wahre Aussage ist und jede weitere Zeile aus der jeweils vorherigen folgt.

(Tut mir Leid, falls das wie eine kleinkarierte Moralpredikt wirkt, aber schlechten Angewohnheiten sollte man gleich am Anfang entgegenwirken smile )
MarioH Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

ich habe deinen Beitrag bisher nur überflogen, da ich gerade noch ein Tutorium hatte. Dort hatten wir dasselbe Problem mit einem Beweis und Wurzeln/Quadrieren, sodass die Äquivalenz nicht offensichtlich war.

Ich sehe ein, dass das wohl besser ist, allerdings bekommen wir auf unserem Zettel eben genau diese Terme und sollen es zeigen. Heißt für uns also: Das was da steht stimmt, also forme jetzt mal rum bis es offensichtlich aussieht.

Mir geht es oft so, dass ich selbst denke, dass meine Lösung nicht gerade wie ein mathematischer Beweis wirkt.
Leider ist man da bei der Methodik im Studium praktisch auf sich selbst gestellt (vielleicht wird auch vieles noch von Schulzeiten vorausgesetzt, aber das ist eine Weile her und ich hab mich eher darauf fixiert Mathe nach der Schule zu vergessen als mir die Methoden beizubehalten :P).

Von mir daher eine Entschuldigung im Namen der Studienanfänger! :P
Mathr ist nunmal Pflicht und auch wenn es ansich schon spannend ist, wir haben oft nicht den Nerv dazu uns damit richtig auseinanderzusetzen. Darum landen wir ja auch in solchen Foren. Es ist einfach so wenig Zeit D:
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Zitat:
Original von MarioH
... allerdings bekommen wir auf unserem Zettel eben genau diese Terme und sollen es zeigen. Heißt für uns also: Das was da steht stimmt, also forme jetzt mal rum bis es offensichtlich aussieht.


Ich hoffe, dass nicht etwa euer Tutor oder gar Professor gesagt hat, dass ihr so vorgehen sollt! Oder, besser gesagt: natürlich geht man so vor, um auf die Idee des Beweises zu kommen; ein mathematischer Beweis ist aber anderherum, vom Bekannten/Bewiesenen auf die Behauptng schließend. Das ist das Problem mit der Methodik: wie man auf den Beweis kommt, ist häufig die "umgedrehte" Beweisidee.

Zitat:
Mir geht es oft so, dass ich selbst denke, dass meine Lösung nicht gerade wie ein mathematischer Beweis wirkt. Leider ist man da bei der Methodik im Studium praktisch auf sich selbst gestellt (vielleicht wird auch vieles noch von Schulzeiten vorausgesetzt, aber das ist eine Weile her und ich hab mich eher darauf fixiert Mathe nach der Schule zu vergessen als mir die Methoden beizubehalten :P).
Von mir daher eine Entschuldigung im Namen der Studienanfänger! :P


Das kann ich gut verstehen, hatte am Anfang die größten Schwierigkeiten! Von daher war meine Ermahnung auch kein Vorwurf, sondern eher ein wichtiger Hinweis - ich hatte im Nachhinein nämlich auch manchmal das Gefühl, es wäre schön gewesen, wenn gewisse grundlegende Dinge deutlicher gesagt worden wären, als uns einfach nach kurzer Einführung in verschiedenen Schwimtechniken ins Wasser zu schmeißen. Augenzwinkern Aber leider ist es so: beweisen kann man dir letztlich nur kaum beibringen - vielmehr ist es lerning by doing.

Zitat:
Mathr ist nunmal Pflicht und auch wenn es ansich schon spannend ist, wir haben oft nicht den Nerv dazu uns damit richtig auseinanderzusetzen. Darum landen wir ja auch in solchen Foren. Es ist einfach so wenig Zeit D:


Dafür sind die Foren ja da! Was studierst du denn, wenn man fragen darf? Wenn du Mathe nu so hast und nicht Mathe oder Phsik studierst, ist das mit dem Beweisen vielleicht auch nicht so tragisch für dein weiteres Studium Big Laugh
MarioH Auf diesen Beitrag antworten »

Unser/e Tutor/Dozentin hat zur Vorgehensweise herzlich wenig gesagt :P
Naja, oder ich war da zu sehr mit Schreiben beschäftigt und hab nicht zugehört. Augenzwinkern

Ich habs auch nicht als Vorwurf gesehen! ^^

Ich hasse Mathe nicht, eigentlich finde ich es durchaus interessant, allerdings ist mir die Herangehensweise im Studium zuwider. Man bekommt 2x die Woche in 1,5 Stunden einen Haufen Definitionen um die Ohren gehauen und soll dann pro Woche 5-10 Sachen beweisen.

Ich studier wohl das, was nach Mathe und Physik die Mathematik noch am ehesten braucht: (Angewandte) Informatik! Augenzwinkern

Ich werde später nichts beweisen müssen, aber es hat schon seinen Grund warum ich LA1 und Ana1 brauche.

Zurück zum Thema:

Ich denke für diese Aufgabe hab ich alles was ich brauche, danke für Eure Hilfe! smile
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, alles klar!

Diese reine Mathe ist sehr gewöhnungsbedürftig, ich weiß. Man lernt dabei aber neue Arten, logische Probleme anzugehen, und das ist wohl auch in Informatik nützlich, allerdings kenn ich mich kaum aus...

Viel Erfolg! Wink
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