Wachstumsprozess

08.05.2014, 19:07

Bonheur

Wachstumsprozess

Das Geschlechterverhältnis ist stets ausgeglichen, in den Monaten März (t_0) bis September (t_6) sterben keine Feldmäuse und Anfang März leben 20 Feldmäuse auf einem Acker, auf dem maximal 2000 Feldmäuse leben können. Die Zuwachsrate r beträgt 3.

1. Berechnen Sie die Feldmauspopulationsgrößen\Zuwachs für die Monate April (t_1) bis September (t_6).

Für die Berechnung haben wir zwei Methoden zur Auswahl: Exponentielles Wachstum und logistisches Wachstum.

Idee:

logistisches Wachstum:

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt}=r \cdot \left(\frac{K-N}{K}\right) \cdot N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K=2000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=3 \end{eqnarray*}$

Was muss aber mein N sein ? Stimmt überhaupt die Formel ?

Vielen Dank

08.05.2014, 20:30

mYthos

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Hast du schon mal deinen seinerzeitigen eigenen Thread nochmals durchgelesen?
Die richtige Differentialgleichung und deren Auflösung findest du dann dort
-->
logistisches Wachstum

08.05.2014, 20:32

Bonheur

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Ich wusste gar nicht, dass dieser Thread fortgeführt wurde. Ich schaue mir ihn an.

08.05.2014, 20:46

Bonheur

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Verstehe.

Habe es mir angesehen.

$\begin{eqnarray*} (1) \, \, P(t)=\frac{S}{1+ b \cdot e^{-Sk \cdot t}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \, \, \lim_{t \to \infty} P(t)=2000=S \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \, \, 20=\frac{2000}{1+ b \cdot e^{-Sk \cdot 0}} \Rightarrow b=99 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4) \, \, P(t)=\frac{2000}{1+ 99 \cdot e^{-Sk \cdot t}} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich k bestimmen soll. Hättest du vielleicht eine Idee ?

08.05.2014, 21:08

mYthos

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Die Zuwachsrate r = 3 wurde noch nicht eingerechnet ...
---------------
Dabei ist klar, dass die Zuwachsrate (Änderungsrate) beim logistischen Wachstum nicht konstant bleiben kann. Somit wird wohl nach einem Monat die Anzahl der Mäuse 60 betragen*, nach den nächsten (4 bis 5) Monaten jedoch wird sich die Kurve entsprechend verflachen, weil der Funktionswert letztendlich gegen 2000 geht.

(*) damit wird k (= 0.0005595105812) berechnet.

EDIT (2x):

08.05.2014, 21:21

Bonheur

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Verstehe.

Komme auf:

$\begin{eqnarray*} P(t)=\frac{2000}{1+ 99 \cdot e^{-2000 \cdot 0{,}00056 \cdot t}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(1)=60 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(2)=173 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(3)=450 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(4)=942 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(5)=1464 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(6)=1786 \end{eqnarray*}$

Das sind die einzelnen Populationsgrößen. Wie berechne ich aber den Zuwachs ? Ableitung ?

08.05.2014, 21:37

mYthos

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Richtig, die - momentane - Änderungsrate (d. i. NICHT der Zuwachs selbst, sondern der monatsbezogene Zuwachs) wird mittels der Ableitung berechnet. Er ist in jedem betrachteten Zeitpunkt verschieden groß.
Wenn nach dem 1. Monat anstatt 20 nunmehr 60 Mäuse vorhanden sind, ist der Wachstumsfaktor 3 und die mittlere Änderungsrate 40 M/M.
Die momentanen Änderungsraten sind im Zeitpunkt 0 rd. 22 M/M, im Zeitpunkt 2 bereits rd. 65 M/M

Wie man aus der Grafik erkennt, ist die Änderungsrate nach ca. 4 Monaten (Wendepunkt!) am größten. Dort ist sie ca. 560 M/M gegenüber wesentlich kleineren Werten an den Rändern des Zeitintervalls.
Die Wachstumsrate (r) liegt dort zwischen ca. 1.5 und 2, gegenüber 3 am Beginn.

In der Aufgabenstellung sollte daher r genauer spezifiziert werden!

EDIT: Wachstumsfaktor, -rate / Änderungsraten berichtigt

08.05.2014, 21:42

Bonheur

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Verstehe.

Dann würde eigentlich die Zuwachsrate nur beim linearen Wachstum kontinuierlich drei betragen, da der Graph beim logistischen Wachstum, sich asymptotisch einer Kapazitätsgrenze nähert und dort die Steigung sehr gering ist und $\begin{eqnarray*} m < 3 \end{eqnarray*}$ , muss man diesen Wert r spezifieren.

Leider habe ich keine Idee, wie ich das machen soll. Dann müsste man doch den Graphen, linear wachsen lassen.
Liegt es an der Aufgabenstellung ?

08.05.2014, 22:02

mYthos

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Zitat:

Original von Bonheur
...
Dann würde eigentlich die Zuwachsrate nur beim linearen Wachstum kontinuierlich drei betragen, da der Graph beim logistischen Wachstum, sich asymptotisch einer Kapazitätsgrenze nähert und dort die Steigung sehr gering ist und $\begin{eqnarray*} m < 3 \end{eqnarray*}$ , muss man diesen Wert r spezifieren.
...

Stimmt.

Woher stammt die Aufgabe?
Du solltest die Quelle der Aufgabe befragen, bzw. den Aufgabensteller.
Offensichtlich versteht er unter r etwas anderes.
Kannst du dies einmal hinterfragen?

Ansonsten kannst du die jetzt berechnete Funktion nehmen, nach 1 Monat hat sich die Anzahl der Mäuse verdreifacht und ansonsten erfüllt sie ja die restlichen Forderungen.

mY+

08.05.2014, 22:18

Bonheur

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Die Aufgabe stammt aus dem Biologie-Kurs.

Ich werde nachfragen und mich nochmal melden.

Vielen Dank. smile

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