Bestimmung von Nullstellen bei gemischten Trigonometrischen Funktionen

08.05.2014, 20:19

Levaru

Bestimmung von Nullstellen bei gemischten Trigonometrischen Funktionen

Meine Frage:
Ich habe hier die Funktion f(x)= sin(x)*e^(-x)

Bei der Bestimmung der Nullstellen ist mir aufgefallen das sie falsch sind:

0 = sin(x)*e^(-x)

=> 0 = e^(-x) nicht möglich, fällt weg

=> 0 = sin(x) |arcsin()
0 = x

daraus folgt: N( 0 + k * pi | 0) ; { k | k $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z }

Wenn man aber den Graphen betrachtet:

sieht man das es nur 2 Nullstellen von denen eine im negativen Bereich liegt und somit " 0 + k*pi" unwahr ist.

Meine Frage ist: Wie erkenne ich so etwas ohne den Graphen zu zeichnen?

Meine Ideen:
Verhalten im Unendlichen vorher bestimmen?

08.05.2014, 20:27

10001000Nick1

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Du hast die Nullstellen schon richtig bestimmt.

Für positive x-Werte liegen die Funktionswerte aber sehr dicht an der x-Achse, deswegen kann man die Nullstellen in dem Graphen nicht mehr erkennen.
Allerdings müssten auf der negativen x-Achse noch zwei Nullstellen zu sehen sein, bei $\begin{eqnarray*} -2\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -3\pi \end{eqnarray*}$ . Warum die nicht gezeichnet werden, weiß ich auch nicht. verwirrt

Zur Kontrolle: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29*e^-x%3D0

Hier habe ich die Funktion mal mit Geogebra geplottet, da siehst du die Nullstellen auf der negativen x-Achse:
[attach]34199[/attach]

Und hier ist die y-Achse extrem "gestreckt", da kannst du noch einige der Nullstellen auf der positiven x-Achse sehen:
[attach]34200[/attach]

08.05.2014, 20:48

Levaru

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@10001000Nick1
Ah jetzt sehe ich es auch. Ich hab aber noch eine andere Frage.

Bei der Berechnung der Wendestellen: f''(x)= -2*cos(x)*e^(-x) = 0

komme ich auf folgenden Rechenweg.

0 = -2*cos(x)*e^(-x)

=> 0 = e^(-x) nicht möglich, fällt weg

=> 0 = -2*cos(x) | /(-2)

0 = cos(x) |arccos()

pi/2 = x

Damit ist die Nullstelle: N(pi/2 + k*pi | 0)

aber WolframAlpha sagt: N(pi/2 - k*pi | 0)

Wieso?

08.05.2014, 20:59

10001000Nick1

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Beides ist richtig.

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}-k\pi=\frac{\pi}{2}+(-k)\pi \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt k alle ganzen Zahlen durchläuft, dann "trifft" man irgendwann mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}+(-k)\pi \end{eqnarray*}$ die selben Werte wie mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}+k\pi \end{eqnarray*}$ .

Du kannst dir ja mal überlegen, welche Werte du bei $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}+(-k)\pi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=-3,-2,-1,0,1,2,3 \end{eqnarray*}$ erhältst und welche Werte bei $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}+k\pi \end{eqnarray*}$ .

08.05.2014, 21:12

Felix.

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Warum ist es eigentlich in der Schule üblich zur Angabes eines Punktes z.B. P(2|4) anstelle von P=(2|4) zu schreiben?
Sei der Punkt $\begin{eqnarray*} A=(a_1|a_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=(b_1|b_2) \end{eqnarray*}$ .
Wenn man diese jetzt vergleichen will, so kann man schreiben A=B und dann für A,B einsetzen.
Man erhält den Vergleich von zwei Tupeln
$\begin{eqnarray*} (a_1|a_2) = (b_1|b_2). \end{eqnarray*}$
Zwei Tupel sind gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind.

Es ist doch elegant, das Tupel mit dem Punkt selbst zu identifizieren.

08.05.2014, 21:13

Levaru

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Ach nein ich hab einen Fehler gemacht. WolframAlpha sagt:

Nwolfram (k*pi -pi/2 | 0)

Nlevaru (k*pi + pi/2 | 0)

Es kommen 2 verschiedene Werte für das gleiche k raus. Welche Nullstelle ist jetzt richtig?

08.05.2014, 21:26

10001000Nick1

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Das ist trotzdem beides richtig:
$\begin{eqnarray*} k\pi-\frac{\pi}{2}=k\pi-\pi+\frac{\pi}{2}=\underbrace{(k-1)}_{\in\mathbb{Z}}\pi+\frac{\pi}{2}=\tilde{k}\pi+\frac{\pi}{2},\quad k,\tilde{k}\in\mathbb{Z},\quad \tilde{k}=k-1 \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite einsetzt, erhält man $\begin{eqnarray*} k\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt $\begin{eqnarray*} \tilde{k}=1 \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite einsetzt, kommt natürlich etwas anderes raus. Aber $\begin{eqnarray*} \tilde{k} \end{eqnarray*}$ nimmt ja auch den Wert 0 an (weil $\begin{eqnarray*} \tilde{k} \end{eqnarray*}$ alle ganzen Zahlen annimmt). Und da erhält man dann $\begin{eqnarray*} \tilde{k}\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Das ist der selbe Wert wie auf der linken Seite für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ .

Schreib dir doch mal auf, was bei deiner Lösung für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ rauskommt und was bei Wolframs Lösung für diese Werte von k rauskommt. Dann sollte es dir klar werden, warum beide Lösungen richtig sind.

08.05.2014, 21:35

Levaru

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Das ist trotzdem beides richtig:
$\begin{eqnarray*} k\pi-\frac{\pi}{2}=k\pi-\pi+\frac{\pi}{2}=\underbrace{(k-1)}_{\in\mathbb{Z}}\pi+\frac{\pi}{2}=\tilde{k}\pi+\frac{\pi}{2},\quad k,\tilde{k}\in\mathbb{Z},\quad \tilde{k}=k-1 \end{eqnarray*}$

Schreib dir doch mal auf, was bei deiner Lösung für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ rauskommt und was bei Wolframs Lösung für diese Werte von k rauskommt. Dann sollte es dir klar werden, warum beide Lösungen richtig sind.

Ich versteh nicht wieso bei dir nach dem ersten Gleichheitszeichen das zweite pi herkommt.

Aber ich hab mal einfach beide Formel in meinen Taschenrechner eingegeben und hab für den gleichen k Wert verschiedene Ergebnisse bekommen die sich um ein Pi unterscheiden:

2*pi - pi/2 = 4.71
2*pi + pi/2 = 7.85

08.05.2014, 21:38

10001000Nick1

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Ich habe doch gesagt: Wenn man in beide Terme das gleiche k einsetzt, dann erhält man etwas unterschiedliches. Aber das k durchläuft doch alle ganzen Zahlen. Deswegen erhält man überall die gleichen Nullstellen, bloß vielleicht mit unterschiedlichen Werten von k.

Hast du dir mal die Werte für k=0, 1, 2, 3, 4 aufgeschrieben?

$\begin{eqnarray*} k\pi-\frac{\pi}{2}=k\pi-\pi+\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ kann man umformen, weil $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2}=-\pi+\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

08.05.2014, 21:46

Levaru

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Oh tut mir leid ich habs irgendwie überlesen und hatte mir meine eigene Ideen in den Kopf gesetzt. Hammer

Jetzt verstehe ich das auch danke! Freude

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