Beweis, Wurzel 2 ist reelle Zahl

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08.05.2014, 21:00	laura12	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, Wurzel 2 ist reelle Zahl Meine Frage: Hallo,ich bräuchte Hilfe den Ansatz für folgendes Problem zu finden. Ich soll zeigen, dass die Wurzel aus 2 eine reelle Zahl ist. Da wir gerade im Kapitel Stetigkeit sind, gehe ich davon aus, dass der Beweis damit zu tun hat. Meine Ideen: Ich vermute, man soll eine Funktion so definieren, dass sie an der Stelle Wurzel aus 2 stetig ist, und das zeigen. Meine Idee wäre gewesen, f: R->R, f(x)=x und dann eben die Stetigkeit nachweisen. Allerdings setzte ich ja dabei schon voraus, dass Wurzel 2 im Definitionsbereich, also in R ist.
08.05.2014, 21:08	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die (Quadrat-)Wurzel ist doch gerade so definiert: $\begin{eqnarray} \forall c\in\mathbb{R}_0^+\ \exists ! x\in\mathbb{R}_0^+: x^2=c \end{eqnarray}$ Man bezeichnet dann x mit $\begin{eqnarray} x=\sqrt{c} \end{eqnarray}$ . Man muss dann natürlich noch beweisen, dass diese Zahl x tatsächlich existiert und eindeutig ist. Aber was hat das Ganze mit Stetigkeit zu tun? Hast du wirklich die komplette Aufgabe genau so hingeschrieben, wie sie dir gestellt wurde?
08.05.2014, 21:20	laura12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist die ganze Angabe Wir haben auch in der Vorlesung diese Definition der Quadratwurzel nicht gemacht, zumindest nicht aktuell. Im Moment sind wie bei der Stetigkeit und alle anderen Aufgaben haben auch damit zu tun, deshalb dachte ich mir, dass diese wahrscheinlich auch irgendwie damit zusammenhängt.
08.05.2014, 21:28	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast auch nicht zufällig "reell" mit "irrational" verwechselt? Denn die Aufgabe, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ irrational ist, gibt es öfters mal. Aber auch das hat nichts mit Stetigkeit zu tun.
08.05.2014, 21:37	laura12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Angabe lautet: Zeige, dass Wurzel 2 eine reelle zahl ist. Kann sein, dass damit kein "echter Beweis" gemeint, sondern einfach eine Spielerei mit Stetigkeit, Funktionen und so. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass es was damit zu tun haben soll, weil es sonst ziemlich aus dem Kontext wär. Also, kann es nicht sein, dass es vielleicht in die Richtung geht, wie mein Ansatz oben ist? Dass der nicht stimmen kann, ist mir klar. Aber so ähnlich?
08.05.2014, 21:44	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt, habe ich dann keine Ahnung, was man da machen soll. Wie soll man eine Definition beweisen? (Denn die Quadratwurzel aus einer positiven reellen Zahl c ist ja per Definition die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl x mit $\begin{eqnarray} x^2=c \end{eqnarray}$ )
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08.05.2014, 21:48	laura12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, kann man nichts machen. Aber, vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast!
08.05.2014, 21:50	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Kriegst du irgendwann die Lösung zu dieser Aufgabe, bzw. besprecht ihr die Aufgaben? Wenn ja, könntest du dich dann nochmal kurz hier melden, und sagen, was ihr machen solltet? Das würde mich ja jetzt schon interessieren.
08.05.2014, 21:57	laura12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, klar. Mach ich! Am Montag besprechen wir die Aufgaben.
09.05.2014, 08:27	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Sinn der Aufgabe war wohl das hier. Betrachte $\begin{eqnarray} f: x \mapsto x^2 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist offenbar stetig und es gilt $\begin{eqnarray} f(1)<2<f(2) \end{eqnarray}$ . Also gibt es wegen er Stetigkeit mind. ein $\begin{eqnarray} x \in (1,2) \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 2 = f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ . Die Eindeutigkeit folgt aus der Monotonie von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf diesem Intervall.
09.05.2014, 10:51	laura12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, so machts natürlich Sinn! Vielen Dank

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