DGL lösen mit Variablentrennung und Substitution

08.05.2014, 23:47	allie	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL lösen mit Variablentrennung und Substitution Meine Frage: Hallo, wir müssen folgende DGL mittels Variablentrennung lösen: $\begin{eqnarray} y'=(y+x)^{2} \end{eqnarray}$ und sollen dabei (x+y) substituieren. Soweit sogut aber ich bleibe leider an einer Stelle hängen: Meine Ideen: $\begin{eqnarray} y'=(y+x)^{2} \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} z=(x+y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'=z^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dz}=z^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dy=z^{2}dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^y \! dy =\int_0^z \! z^{2}dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y+c=\frac{1}{3}z^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{3}z^{3}-c \end{eqnarray}$ jetzt resubstituieren: $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{3}(x+y)^{3}-c \end{eqnarray}$ An der Stelle komme ich leider nicht weiter bzw bin ich mir nicht sicher, ob bis hier hin alles richtig war. Schonmal Danke für Denkanstöße/Hilfestellung.
09.05.2014, 00:21	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fehler liegt schon weiter oben. Es ist $\begin{eqnarray} y'=\frac{dy}{dx} \neq \frac{dy}{dz} \end{eqnarray}$ . Du willst y durch z ersetzen, also musst Du auch die Ableitungen entsprechend transformieren.
09.05.2014, 01:14	allie	Auf diesen Beitrag antworten »
okay also: $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} =z^{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z=x+y \Rightarrow z'=1+y' \Rightarrow y' =z'-1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} z'-1=z^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dx} =z^{2}+1 \Rightarrow dx=\frac{dz}{z^{2}+1} \end{eqnarray}$ Soweit richtig? Wie gehe ich dann weiter vor: integriere ich jetzt die obere Funktion oder setzte ich dx in $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} =z^{2} \end{eqnarray}$ ein und integriere dann?
09.05.2014, 06:27	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du ermittelst erst eine Lösung für z (x) durch Integration, um daraus die Lösung für y(x) zu ermitteln
09.05.2014, 06:51	allie	Auf diesen Beitrag antworten »
so dann weiterführend von oben: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! dx =\int_a^b \! \frac{dz}{z^{2}+1 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+c=ln(z^{2}+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{x}+c-1=z^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=\sqrt{e^{x}+c} \end{eqnarray}$ resubstituieren: $\begin{eqnarray} y=\sqrt{e^{x}+c}-x \end{eqnarray}$ richtig?
09.05.2014, 08:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Diesmal ist das Integrieren misslungen: Rechne doch mal zur Probe $\begin{eqnarray} [\ln(z^2+1)]' \end{eqnarray}$ aus (Kettenregel beachten)! Abgesehen davon ist $\begin{eqnarray} \int \frac{\dd z}{z^2+1} \end{eqnarray}$ ein bekanntes Grundintegral.
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09.05.2014, 11:12	allie	Auf diesen Beitrag antworten »
oh stimmt, das habe ich ganz übersehen... also nochmal: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! dx = \int_a^b \! \frac{dz}{z^{2}+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+c= ln(z)-ln(z+1)+c = ln(\frac{z}{z+1})+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{x}+c=\frac{z}{z+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=(e^{x}+c)(z+1)=e^{x}z+e^{x}+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{x}-c=z-e^{x}z=z(1-e^{x}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=\frac{e^{x}-c}{1-e^{x}} \end{eqnarray}$ wenn man jetzt die Substition zurück einsetzt: $\begin{eqnarray} y=\frac{e^{x}-c}{1-e^{x}}-x \end{eqnarray}$
09.05.2014, 16:40	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist leider immer noch falsch und wäre nur im Falle $\begin{eqnarray} \int_a^b \! dx = \int_a^b \! \frac{dz}{z^{2}+z} \end{eqnarray}$ richtig. HAL hat Dir doch schon einen wichtigen Tip gegeben mit dem Grundintegral. Die Formelsammlung ist dein Freund

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