Stammfunktion gesucht über welche Methode?

09.05.2014, 10:51

totti

Stammfunktion gesucht über welche Methode?

Hallo zusammen...

ich habe eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{1}{sin^3(x)} \end{eqnarray*}$ gegeben, nun soll ich dazu eine Stammfunktion finden, ich habe es einfach mal über die "Halbwinkelmethodik" versucht, aber nach 2 Seiten wildem rechnen verlaufe ich mich da irgendwie?!

Kann mir da einer weiter helfen oder einen Tipp geben?

09.05.2014, 11:15

klarsoweit

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RE: Stammfunktion gesucht über welche Methode?
Schreibe: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{sin^3(x)} = \frac{sin(x)}{sin^4(x)} = \frac{sin(x)}{(1-cos^2(x))^2} \end{eqnarray*}$ und substituiere u = cos(x). smile

09.05.2014, 11:22

totti

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ganz ehrlich, das bringt mich grade nicht wirklich weiter? Hammer

09.05.2014, 11:32

HAL 9000

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unsägliche Floskel
Das ist jammerschade, denn einen besseren Tipp wirst du für diese Integrationsaufgabe kaum bekommen. Also lies den Tipp besser nochmal, und denk diesmal gründlich drüber nach, dann "bringt es dich auch weiter".

09.05.2014, 12:58

totti

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Ok ich versuche es...

$\begin{eqnarray*} u=cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = -sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{-sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin(x)}{(1-u^2)^2} \, \frac{du}{-sin(x)} \end{eqnarray*}$

Ist das bis hier hin richtig???
Eine andere Idee habe ich nicht so wirklich...bin aber in der Substitution beim Integrieren noch nicht so fit...

09.05.2014, 13:02

klarsoweit

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Obwohl ich es aus formalen Gründen nicht so gern sehe, daß die Integrationsvariablen x und u gemeinsam im Integral vorkommen, lasse ich es mal so gelten. smile

09.05.2014, 13:03

totti

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Alles klar, da bin ich ja schon einmal froh^^

Wie muss ich denn jetzt weiter vorgehen???

09.05.2014, 13:07

klarsoweit

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Liegt doch auf der Hand: erstmal das sin(x) rauskürzen, damit in dem Integranden wirklich nur noch die eigentliche Integrationsvariable u vorkommt.

09.05.2014, 13:13

totti

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Ok, das habe ich... Das hätte ich in der Tat selber sehen können...

$\begin{eqnarray*} \int \! -\frac{1}{(1-u^2)^2} \, du \end{eqnarray*}$

wie gehe ich nun weiter vor???
Ich erkenne da ja eine Kettenregel oder?

09.05.2014, 13:19

totti

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wäre das so richtig???

$\begin{eqnarray*} -\frac{4cos(x)}{1-cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

Also ich habe den Bruch einfach umgeschrieben, und habe dann die Kettenregel angewandt???

09.05.2014, 13:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von totti
$\begin{eqnarray*} \int \! -\frac{1}{(1-u^2)^2} \, du \end{eqnarray*}$

Wir machen nur mit diesem Integral weiter:

$\begin{eqnarray*} \int \! -\frac{1-u^2+u^2}{(1-u^2)^2} \, du = \int \! -\frac{1-u^2}{(1-u^2)^2} \, du + \int \! \frac u 2 \cdot \frac{-2u}{(1-u^2)^2} \, du \end{eqnarray*}$

Beim 1. Integral kürzen, der Rest ist dann simpel. Beim 2. Integral partiell integrieren.

Zitat:

Original von totti
Ich erkenne da ja eine Kettenregel oder?

Äh, wo?

Und was soll der Term mit dem cos(x) drin? verwirrt

09.05.2014, 15:12

HAL 9000

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@totti

Und solltest du auf den letztgenannten "Trick" von klarsoweit nicht von selbst kommen, ist das auch kein Beinbruch:

Bei gebrochen rationalem Integranden wie $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{(1-u^2)^2} \end{eqnarray*}$ führt auch die gute alte Partialbruchzerlegung sicher zum Ziel, nur vielleicht nicht ganz so schnell. Augenzwinkern

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