Monotonie einer Wurzelfolge

09.05.2014, 11:21

u44tmp

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Monotonie einer Wurzelfolge

Meine Frage:
Hi an alle! Ich bräuchte Hilfe bei einem Monotoniebeweis.
Die Funktion ist folgende:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Ich soll die Monotonie der Folge bestimmen.

Meine Ideen:
Nun zu meinen Überlegungen. Es muss ja sein:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_{n} \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} \leq \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$
nach Umformung:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} - (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})\leq 0 \end{eqnarray*}$

und nun bleib ich "stecken". Es kann ja erweitert werden, so dass die Wurzel im Zähler verschwindet. Kann ich annehmen, dass a = $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ und b = $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ , sodass ich a²-b² im Zähler schreibe? Als Ergebnis bekomme ich 2.

09.05.2014, 11:59

bijektion

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Beschreibe doch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ erstmal als Bruch, und zwar unter Benutzung von $\begin{eqnarray*} a^2-b^2=(a-b) \cdot (a+b) \end{eqnarray*}$ .

09.05.2014, 17:42

u44tmp

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(n+2-n+1)-(n+1-n)
im zähler.. der Nenner ist ja die Funktion an sich... also a(n+1)-a(n)

09.05.2014, 18:25

Gurki

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Mir ist nicht so ganz klar worauf du damit hinaus willst...?

Es ist doch (s.a. bijektions Hinweis)

$\begin{eqnarray*} a_n:=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac 1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \end{eqnarray*}$

Damit sieht man sofort, dass die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} a_n>a_{n+1} \end{eqnarray*}$

offenbar äquivalent ist zu

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n}<\sqrt{n+2}. \end{eqnarray*}$

09.05.2014, 20:27

u44tmp

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naja das ist ja a(n). Und ich kann doch (an+1) ebenso umformen (also in der form a² - b² jeweils).
Meine Frage ist halt ob man das so machen kann und wie man weiter umformen muss um zu zeigen, dass die Folge streng monoton fallend ist. Ich forme ja beide Terme um zu 1/"Funktion". Wenn ich beide subtrahiere und auf einen Nenner bringe dann bekomme ich 2/(...)

@Gurki: Wie kommst du auf diese Äquivalenz?

10.05.2014, 00:41

bijektion

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Gurki hat ja schon erwähnt, dass $\begin{eqnarray*} a_n=\frac 1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt.
Dann gilt es also auch für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ hat die gleiche Form wie $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .
Jetzt setze in $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<a_n \end{eqnarray*}$ ein, und forme geeignet um, dann erhälst du die Äquivalenz und offenbar ist die Behauptung wahr.

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10.05.2014, 13:09

u44tmp

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Naja das versteh ich ja soweit.
Ich bekomme dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} } \leq \frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} } - \frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} } \leq 0 \end{eqnarray*}$

nun weiß ich aber nicht weiter... wenn ich beide brüche auf einen Nenner bringe dann hab ich ja wieder Wurzel im Zähler und der Schritt davor ist hinfällig :/

10.05.2014, 13:12

bijektion

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Multiplizier doch einfach mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})\cdot (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ , offenbar ist das $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ , da die Wurzelfunktion streng monoton steigt, also bleibt die Ungleichung erhalten.
Jetzt kannst du ein wenig addieren.

10.05.2014, 13:22

u44tmp

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Dann bekomme ich doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) } \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist doch aber streng monoton fallend?

10.05.2014, 14:22

bijektion

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Zitat:

Dann bekomme ich doch: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) } \end{eqnarray*}$

Wie schaffst du es, aus einer Ungleichung einen Term zu erhalten? unglücklich

unglücklich

Es folgt dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} \geq \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ .

10.05.2014, 14:38

u44tmp

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naja der Term ist ja < 0

Die Folge strebt doch gegen 0. Dann müsste ja a(n+1) < a(n) sein.
Aus dem was du geschrieben hast folgt ja der Term den ich umgeformt habe (kleiner Null). Ich hatte einfach das Kleiner-Gleich Zeichen und die Null weggelassen.

10.05.2014, 14:42

bijektion

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Und wie bist du darauf gekommen? Es leuchtet mir absolut nicht ein.
In $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} \geq \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ steckt die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} a_n \geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

10.05.2014, 14:59

u44tmp

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Ja das wundert mich gerade. Die Funktion an sich strebt ja gegen Null. Dann muss sie ja monoton fallend sein oder seh ich da etwas falsch?

Auf die Umformung bin ich gekommen weil:

deine Gleichung hat ja die Form a(n+1) >= a(n)

Ich erweitere, so dass auf beiden Seiten a²-b²/Term gilt. und weiter:

a(n+1)-a(n) >= 0

also im Prinzip: 1/a(n+1) - 1/a(n) >= 0

10.05.2014, 15:02

bijektion

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Zitat:

Ja das wundert mich gerade. Die Funktion an sich strebt ja gegen Null. Dann muss sie ja monoton fallend sein oder seh ich da etwas falsch?

Das gilt im allgemeinen nicht, betrachte etwa $\begin{eqnarray*} b_n :=\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

deine Gleichung hat ja die Form a(n+1) >= a(n)

Das willst du doch zeigen verwirrt

verwirrt

Die Umformung ist schon soweit, das man das Ergebnis direkt ablesen kann, ich verstehe daher dein Problem nicht.

10.05.2014, 15:12

u44tmp

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naja deine Folge hat ja keinen Grenzwert.

Ich meine wie der genaue Beweis funktioniert. Ich soll die Monotonie der folge zeigen. Ich verstehe gerade nicht, warum die Folge nicht fällt (die Folgeglieder sind doch jeweils kleiner als deren Vorgänger), da sie ja Richtung Null geht.
Ich weiß nicht genau wann der Beweis erbracht ist. Es muss doch bis zu einem gewissen Punkt umgeformt werden, damit man die Monotonie zeigen kann. Ich frage mich gerade wann man quasi damit fertig ist.

11.05.2014, 01:05

bijektion

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Zitat:

naja deine Folge hat ja keinen Grenzwert.

Die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ ? Die hat sehrwohl einen Grenzwert, es ist $\begin{eqnarray*} b_n \to 0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich meine wie der genaue Beweis funktioniert. Ich soll die Monotonie der folge zeigen. Ich verstehe gerade nicht, warum die Folge nicht fällt (die Folgeglieder sind doch jeweils kleiner als deren Vorgänger), da sie ja Richtung Null geht. Ich weiß nicht genau wann der Beweis erbracht ist. Es muss doch bis zu einem gewissen Punkt umgeformt werden, damit man die Monotonie zeigen kann. Ich frage mich gerade wann man quasi damit fertig ist.

Das ist was wir die ganze Zeit machen. Wir haben angesetzt mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_{n} \end{eqnarray*}$ , was offenbar äquivalent ist mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} } \leq \frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ ; soweit alles klar?

12.05.2014, 09:44

u44tmp

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Das ist klar. Wie mache ich nun weiter? Subtrahiere ich den Term auf der rechten Seite dann muss ich die beiden Terme auf einen Nenner bringen und habe wieder die Wurzel im Zähler.

12.05.2014, 09:47

Gurki

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Erstaunlich welch gedanklicher Kuddelmuddel aus einer solchen Banalität entstehen kann.

Grundsätzlich solltest du deine Gedanken dahingehend sortieren, dass du die Beweisrichtung nicht aus den Augen verlierst.

Hier möchtest Du aus einer wahren Aussage folgern, dass gilt

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}<a_n,~n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

und damit zu zeigen dass diese Folge streng monoton fällt.

Als (offenbar) wahre Aussage bietet sich dazu folgendes an:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+2}>\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

denn es gilt ja

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+2}>\sqrt{n}\Rightarrow \sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac1{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}<\frac 1{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_{n+1}<a_n. \end{eqnarray*}$

Die Konvergenzbetrachtung erledigt man hier aber besser direkt (ohne sich um Monotonie zu kümmern)
über das Einschließungskriterium, welches obendrein auch den Grenzwert mitliefert.

12.05.2014, 12:02

u44tmp

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Die Konvergenz hatte ich bereits gezeigt. Hier geht es explizit um die Monotonie.

Bin ich im Grunde genommen schon fertig mit dem Beweis?

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