Zeigen, dass Zentralisator und Normalisator Untergruppen sind

09.05.2014, 15:30

MartinL

Zeigen, dass Zentralisator und Normalisator Untergruppen sind

Moin,

zuerst mal die wichtigen Definitionen für die Aufgabe:

Für eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ einer Gruppe G definiere man den Zentralisator $\begin{eqnarray*} C_G(M) \end{eqnarray*}$ und den Normalisator $\begin{eqnarray*} N_G(M) \end{eqnarray*}$ von M in G wie folgt:

$\begin{eqnarray*} C_G(M) := \{g \in G \ \ | \ \ m^g = m \ \ \ \ \forall m \in M \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N_G(M) := \{g \in G \ \ | \ \ M^g = M \} \end{eqnarray*}$

Dann wird folgendes noch wichtig sein (was ich aber noch nicht ganz verstanden habe, weil es meiner Auffassung von Exponenten irgendwie aktuell noch widerspricht):
Für $\begin{eqnarray*} x,g \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \subseteq G \end{eqnarray*}$ setze $\begin{eqnarray*} g^x := x^{-1}*g*x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M^x = \{m^x \ \ | \ \ m \in M \} = x^{-1}*M*x \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist jetzt folgende:
Zeige:
(1) $\begin{eqnarray*} C_G(M) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N_G(M) \end{eqnarray*}$ sind Untergruppen von G wobei $\begin{eqnarray*} C_G(M) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} N_G(M) \end{eqnarray*}$ ist.

----------------------------------------------------------------------------

Mein Ansatz:

Laut Skript reicht es aus, wenn ich zeigen kann, dass Zentralisator bzw. Normalisator bzgl. Verknüpfung und Inversenbildung abgeschlossen sind. Also wenn w und v im Normalisator /Zentralisator sind, muss auch wv im Normalisator / Zentralisator sein. Außerdem muss zu jedem w im Normalisator / Zentralisator auch das inverse Element zu w im Normalisator / Zentralisator sein.

Dann habe ich angefangen und mir zwei Elemente aus dem Zentralisator genommen. Ich weiß, dass für diese Elemente folgendes gilt (weil sie gerade im Zentralisator liegen)
$\begin{eqnarray*} m^w = m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m^v = m \end{eqnarray*}$

Es ist aber:
$\begin{eqnarray*} m^{(wv)} = (m^w)^v = (m)^v = m \end{eqnarray*}$

Damit ist also wv auch im Zentralisator. Das stimmt also. Bei der Inversenbildung bin ich mir noch nicht so sicher. Zu zeigen ist ja, für w aus dem Zentralisator, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} m^{(w^{-1})} = m \end{eqnarray*}$

Ich weiß wieder, dass $\begin{eqnarray*} m^w = m \end{eqnarray*}$ gilt.

Kann ich das folgendermaßen machen? Mir macht es etwas Bauchschmerzen, dass ich am Ende der Gleichung anfange. Ich habe irgendwie das Gefühl, dass ich die falche Richtung zeige. Da ich aber überall Gleichheitszeichen habe, müsste es ja aus beiden Richtungen gleichermaßen gelten.
$\begin{eqnarray*} m = m^1 = m^{(w*w^{-1})} = (m^w)^{w^{-1}} = m^{(w^{-1})} \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich, wenn alles soweit in Ordnung ist gezeigt, dass der Zentralisator schon mal eine Untergruppe von G ist.

Ist das soweit schon mal richtig? Falls ja, mache ich weiter. Ansonsten macht es ja wenig Sinn, dass ich hier noch seitenweise falsche Rechnungen poste Augenzwinkern

.

Danke schon mal fürs durchlesen, es wäre toll, wenn jemand sich die Mühe machen würde, meinen Weg zu bestätigen oder abzulehnen.

Gruß
Martin

09.05.2014, 18:34

RavenOnJ

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RE: Zeigen, dass Zentralisator und Normalisator Untergruppen sind (Ist meine Lösung richtig?)
Deine Beweisführung ist bis hierhin korrekt. Ich würde aber die Konjugation der Elemente explizit ausschreiben und nicht die von dir eingeführte abgekürzte Schreibweise nutzen.

09.05.2014, 19:57

MartinL

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RE: Zeigen, dass Zentralisator und Normalisator Untergruppen sind (Ist meine Lösung richtig?)
Joa das mit den Abkürzungen hatten wir schon im Skript, deshalb hab ich das benutzt. Bisher hatte ich das mit der Konjugation aber auch nicht so wirklich verstanden. Ich habe da immer eine allgemeinere Form des "normalen" Exponenten gesucht und einfach nicht gefunden. Jetzt hab ich den Wikipedia Artikel gelesen und stelle fest, dass den Mathematikern da scheinbar einfach die Schreibweisen ausgegangen sind Augenzwinkern

.

Mit Konjugationen sähe es dann ja folgendermaßen aus:

Für $\begin{eqnarray*} w,v \in C_G(M) \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} m^w = w^{-1}*m*w = m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m^v = v^{-1}*m*v = m \end{eqnarray*}$

Da damit aber folgendes gilt, ist v*w auch im Zentralisator enthalten.
$\begin{eqnarray*} m^{vw} = (vw)^{-1}*m*(vw) = v^{-1}*(w^{-1}*m*v)*w = w^{-1}*m*w = m \end{eqnarray*}$
PROBLEM: Hier fällt mir gerade auf, dass ich eine nicht gegebene Kommutativität ausnutzen müsste, damit das gilt. Ich sehe gerade keine Möglichkeit, das hinzubiegen

Für das Inverse von w gilt:
$\begin{eqnarray*} m^{w^{-1}} = w*m*w^{-1}= w*w^{-1}*m*w*w^{-1}=1*m*1 = m \end{eqnarray*}$
Damit ist auch das Inverse enthalten und der Zentralisator eine Untergruppe.

Das gleiche probiere ich dann morgen für den Normalisator. Um dann noch zu zeigen, dass der Zentralisator eine Untergruppe des Normalisators ist, muss ich doch nur zeigen, dass der Zentralisator eine Teilmenge des Normalisators ist oder?

Dann bleibt nur das eben entdeckte Problem, den Rest schaue ich mir morgen an smile

. Danke schon mal für die Bestätigung.

Gruß
Martin

10.05.2014, 00:02

RavenOnJ

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RE: Zeigen, dass Zentralisator und Normalisator Untergruppen sind (Ist meine Lösung richtig?)

Zitat:

Original von MartinL

Da damit aber folgendes gilt, ist v*w auch im Zentralisator enthalten.
$\begin{eqnarray*} m^{vw} = (vw)^{-1}*m*(vw) = v^{-1}*(w^{-1}*m*v)*w = w^{-1}*m*w = m \end{eqnarray*}$
PROBLEM: Hier fällt mir gerade auf, dass ich eine nicht gegebene Kommutativität ausnutzen müsste, damit das gilt. Ich sehe gerade keine Möglichkeit, das hinzubiegen

Schon hast du ein Beispiel, wie eine oberflächlich benutzte Notation tieferliegende Verständnisprobleme überdecken kann. Hier stolperst du über $\begin{eqnarray*} (vw)^{-1} = w^{-1}v^{-1}\small\text{, im Allgemeinen aber }(vw)^{-1} {\color{red}\not=} v^{-1}w^{-1} \end{eqnarray*}$ . Mach dir klar, warum erstere Gleichung gilt und nicht die von dir angenommene.

Zitat:

Für das Inverse von w gilt:
$\begin{eqnarray*} m^{w^{-1}} = w*m*w^{-1}= w*w^{-1}*m*w*w^{-1}=1*m*1 = m \end{eqnarray*}$
Damit ist auch das Inverse enthalten und der Zentralisator eine Untergruppe.

Du hast das jetzt allerdings streng genommen erst für den Zentralisator einer einelementigen Teilmenge von G gezeigt, nämlich $\begin{eqnarray*} \{m\} \end{eqnarray*}$ . Du musst das also noch für beliebige Teilmengen von G erweitern. Du musst dazu die Zentralisatoren für die einelementigen Teilmengen in Beziehung zu Vereinigungen solcher Teilmengen bringen.

Zitat:

Um dann noch zu zeigen, dass der Zentralisator eine Untergruppe des Normalisators ist, muss ich doch nur zeigen, dass der Zentralisator eine Teilmenge des Normalisators ist oder?

Jo, sollte aber nicht allzu schwierig sein.

10.05.2014, 10:10

MartinL

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Ja das rührte wohl noch daher, dass ich die Konjugation falsch verstanden hatte. Das werde ich mir nachher klar machen. Den zweiten Teil verstehe ich nicht ganz.

Ich weiß doch, dass für jedes w aus dem Zentralisator gilt:
$\begin{eqnarray*} m^w = m \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich doch nur zeigen, dass mit dieser Bedingung auch $\begin{eqnarray*} m^{w^{-1}} = m \end{eqnarray*}$
ist. Damit läge zu jedem w auch das passende Inverse im Zentralisator. Das gilt ja für jedes beliebige m aus M. Wenn also für alle m aus M gilt:
$\begin{eqnarray*} m^w = m \end{eqnarray*}$ , dann gilt auch für alle m aus M: $\begin{eqnarray*} m^{w^{-1}} = m \end{eqnarray*}$

Vielleicht habe ich auch die Definition des Zentralisators noch nicht ausreichend verstanden.

Gruß
Martin

10.05.2014, 15:02

RavenOnJ

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Die Definition des Zentralisators sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} C_G(M) := \{g\in G|g m g^{-1} = m,\forall m\in M\} \end{eqnarray*}$

d.h. dass für alle Elemente des Zentralisators alle Elemente aus M selbstkonjugiert sein müssen. Es reicht also nicht, dies nur für jedes Element aus M separat zu betrachten. Die Zentralisatoren $\begin{eqnarray*} C_G(\{m\}), m\in M \end{eqnarray*}$ können je nach dem Element $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sehr unterschiedliche Untergruppen sein. Man sucht aber die Elemente aus $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , die jedes Element aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ unter Konjugation auf sich selbst abbilden. Naturgemäß kann das wiederum nur eine (echte oder unechte) Untergruppe jedes Zentralisators $\begin{eqnarray*} C_G(\{m\}) \end{eqnarray*}$ sein. Eigentlich solltest du jetzt drauf kommen können, wie sich der Zentralisator $\begin{eqnarray*} C_G(M) \end{eqnarray*}$ aus den einzelnen Zentralisatoren $\begin{eqnarray*} C_G(\{m\}), m\in M \end{eqnarray*}$ ergibt.

Vielleicht überlegst du dir erst mal, wie es für eine 2-elementige Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ aussieht und gehst dann zu beliebigen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ über.

10.05.2014, 17:50

MartinL

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Mhh, hab ich das denn nicht in der Bedingung mit drin? Ich möchte doch nur zeigen, dass der Zentralisator bzgl. Verknüpfung und Inversenbildung abgeschlossen ist.

Wenn aber ein Element im Zentralisator liegt, dann weiß ich ja, dass für dieses Element des Zentralisators alle Elemente aus M selbstkonjugiert sind. Wenn ich mir dann noch ein Element aus dem Zentralisator nehme, weiß ich wieder, dass auch bzgl. dieses Elements alle Elemente aus M selbstkonjugiert sind.

Wenn ich damit jetzt zeige, dass $\begin{eqnarray*} (wv)^{-1}*m*(wv) = m \end{eqnarray*}$ für jedes beliebige Element aus M gilt, dann weiß ich doch, dass der Zentralisator bzgl. der Verknüpfung zweier Elemente abgeschlossen ist.

Genau so bei der Inversenbildung. Ich kann ja davon ausgehen, dass bzgl. eines Elements aus dem Zentralisator alle Elemente aus M selbstkonjugiert sind. Dann nehme ich mir wieder ein beliebiges Element m aus M und zeige, dass für ein beliebiges Element aus dem Zentralisator auch das Inverse im Zentralisator liegt, weil auch bzgl. des Inversen jedes Element aus m selbstkonjugiert ist.

Also meiner Meinung habe ich das drin, dass alle Elemente aus M selbstkonjugiert sind bzgl. Verknüpfung zweier Elemente aus dem Zentralisator und bzgl. der Inversen von Elementen aus dem Zentralisator.

Gruß
Martin

10.05.2014, 18:01

RavenOnJ

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Ja, du hast recht. Ich habe deinen 2. Beitrag nicht genau genug gelesen, denn dort schreibst du ja explizit, dass $\begin{eqnarray*} w,v \in C_G(M) \end{eqnarray*}$ sein soll. Damit reichen deine Schlussfolgerungen aus. Sorry!

Edit: Nichtsdestotrotz wäre es interessant, sich zu überlegen, in welcher Beziehung der Zentralisator $\begin{eqnarray*} C_G(M) \end{eqnarray*}$ zu den Zentralisatoren $\begin{eqnarray*} C_G(m) \end{eqnarray*}$ steht.

Es fehlt dann also nur noch der Part mit dem Normalisator, und dass der Zentralisator UG des Normalisators ist.

10.05.2014, 19:04

MartinL

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Dann ist ja gut. Ich habs mal für den Normalisator gemacht und mir auch oben die Gleichung mit den Inversen klar gemacht (hoffentlich richtig):

$\begin{eqnarray*} (xy)^{-1} * (xy) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (xy)^{-1}*(xy)*y^{-1} = 1*y^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (xy)^{-1}*(xy)*y^{-1}*x^{-1} = 1*y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (xy)^{-1}*x*(y*y^{-1})*x^{-1} = y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (xy)^{-1}*x*1*x^{-1} = y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (xy)^{-1} = y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$

Das darf ich dann in Zukunft auch berechtigterweise nutzen Augenzwinkern

.

Jetzt zum Normalisator. Ich habe den Unterschied erst gar nicht verstanden zwischen Zentralisator und Normalisator. Dann habe ich ihn jedoch entdeckt. Während beim Zentralisator die einzelnen Elemente unter Konjugation invariant sein müssen, muss beim Normalisator nur die Menge M als ganzes unter Konjugation invariant bleiben. Es reicht also, wenn ein Element aus M durch Konjugation auf ein anderes Element aus M abgebildet wird. Das Element selbst kann dabei ein anderes sein, hauptsache es liegt weiter in M.

Jetzt nehme ich mir wieder zwei Elemente w und v aus dem Normalsiator. Ich weiß für diese Elemente:
$\begin{eqnarray*} M^w = M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M^v = M \end{eqnarray*}$
Für ein beliebiges Element m aus M gilt also:
$\begin{eqnarray*} m^w \in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m^v \in M \end{eqnarray*}$

Jetzt schaue ich mir die Verknüpfung wv an:

$\begin{eqnarray*} M^{(wv)}= (wv)^{-1}*M*(wv) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow M^{(wv)} = v^{-1}*w^{-1}*M*w*v \end{eqnarray*}$
Jetzt gilt aber nach Bedingung $\begin{eqnarray*} w^{-1}*M*w = M \end{eqnarray*}$
Außerdem gilt nach Bedingung $\begin{eqnarray*} v^{-1}*M*v = M \end{eqnarray*}$
Damit gilt dann auch $\begin{eqnarray*} M^{(wv)}= M \end{eqnarray*}$

Bezüglich der Verknüpfung ist der Normalisator also abgeschlossen. Jetzt ist zu prüfen, ob zu jedem Element w aus dem Normalisator auch das zu w inverse Element im Normalisator liegt:

Sei dazu w aus dem Normalisator:
$\begin{eqnarray*} M^{w^{-1}} = w*M*w^{-1} = w*w^{-1}*M*w*w^{-1} = M \end{eqnarray*}$
Irgendwie habe ich in dieser Zeile ein schlechtes Gefühl. Ich bin mir nicht sicher, ob das auf jeden Fall richtig ist.

Davon ausgehend, dass das bisher alles stimmt, habe ich gezeigt, dass der Normalisator auch eine Untergruppe von G ist. Jetzt noch der Teil, dass der Zentralisator eine Teilmenge des Normalisators ist.

Angenommen, ich habe einen Zentralisator. Alle Elemente aus M sind bzgl. der Konjugation mit Elementen des Zentralisators invariant. Damit ist aber M als solches ganz sicher auch invariant und damit liegen alle Elemente des Zentralisators auch im Normalisator. Andersrum gilt das natürlich nicht. Deshalb ist der Zentralisator eine Teilmenge des Normalisators.

Gruß
Martin

10.05.2014, 23:52

RavenOnJ

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Erst mal dieses, zum Rest komme ich später:

Zitat:

Original von MartinL
... und mir auch oben die Gleichung mit den Inversen klar gemacht (hoffentlich richtig):

$\begin{eqnarray*} (xy)^{-1} * (xy) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (xy)^{-1}*(xy)*y^{-1} = 1*y^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (xy)^{-1}*(xy)*y^{-1}*x^{-1} = 1*y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (xy)^{-1}*x*(y*y^{-1})*x^{-1} = y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (xy)^{-1}*x*1*x^{-1} = y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (xy)^{-1} = y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$

Das darf ich dann in Zukunft auch berechtigterweise nutzen Augenzwinkern

Darfst du

, auch wenn du es dir verdammt kompliziert gemacht hast. Einfacher geht's so:
$\begin{eqnarray*} (xy)^{-1}xy = 1=y^{-1}x^{-1}xy \Rightarrow (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} \end{eqnarray*}$

11.05.2014, 00:20

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MartinL

Jetzt zum Normalisator. Ich habe den Unterschied erst gar nicht verstanden zwischen Zentralisator und Normalisator. Dann habe ich ihn jedoch entdeckt. Während beim Zentralisator die einzelnen Elemente unter Konjugation invariant sein müssen, muss beim Normalisator nur die Menge M als ganzes unter Konjugation invariant bleiben. Es reicht also, wenn ein Element aus M durch Konjugation auf ein anderes Element aus M abgebildet wird. Das Element selbst kann dabei ein anderes sein, hauptsache es liegt weiter in M.

Genau das ist der Unterschied. Du kannst auch sagen, dass die Konjugation durch ein Element des Normalisators zu einer Permutation der Elemente von M führt.

Zitat:

Jetzt nehme ich mir wieder zwei Elemente w und v aus dem Normalsiator. Ich weiß für diese Elemente:
$\begin{eqnarray*} M^w = M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M^v = M \end{eqnarray*}$
Für ein beliebiges Element m aus M gilt also:
$\begin{eqnarray*} m^w \in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m^v \in M \end{eqnarray*}$

Jetzt schaue ich mir die Verknüpfung wv an:

$\begin{eqnarray*} M^{(wv)}= (wv)^{-1}*M*(wv) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow M^{(wv)} = v^{-1}*w^{-1}*M*w*v \end{eqnarray*}$
Jetzt gilt aber nach Bedingung $\begin{eqnarray*} w^{-1}*M*w = M \end{eqnarray*}$
Außerdem gilt nach Bedingung $\begin{eqnarray*} v^{-1}*M*v = M \end{eqnarray*}$
Damit gilt dann auch $\begin{eqnarray*} M^{(wv)}= M \end{eqnarray*}$

Bezüglich der Verknüpfung ist der Normalisator also abgeschlossen. Jetzt ist zu prüfen, ob zu jedem Element w aus dem Normalisator auch das zu w inverse Element im Normalisator liegt:

Sei dazu w aus dem Normalisator:
$\begin{eqnarray*} M^{w^{-1}} = w*M*w^{-1} = w*w^{-1}*M*w*w^{-1} = M \end{eqnarray*}$
Irgendwie habe ich in dieser Zeile ein schlechtes Gefühl. Ich bin mir nicht sicher, ob das auf jeden Fall richtig ist.

Warum ein schlechtes Gefühl? Es ist alles richtig. Vielleicht kommt dir die Multiplikation mit einer Teilmenge M von G nicht ganz geheuer vor. Wenn das so ist, dann mach dir klar, was diese Multiplikation bedeutet und warum die unproblematisch ist.

Zitat:

Davon ausgehend, dass das bisher alles stimmt, habe ich gezeigt, dass der Normalisator auch eine Untergruppe von G ist.

Zitat:

Jetzt noch der Teil, dass der Zentralisator eine Teilmenge des Normalisators ist.

Angenommen, ich habe einen Zentralisator.

Das ist jetzt etwas unglücklich formuliert, denn ein Zentralisator existiert zu jeder Teilmenge von G. Unter Umständen ist es nur die 1.

Zitat:

Alle Elemente aus M sind bzgl. der Konjugation mit Elementen des Zentralisators invariant. Damit ist aber M als solches ganz sicher auch invariant und damit liegen alle Elemente des Zentralisators auch im Normalisator.

Damit hast du jetzt aber schon gezeigt, dass der Zentralisator eine Teilmenge des Normalisators ist. Damit ist er natürlich auch Untergruppe des Normalisators.

Zitat:

Andersrum gilt das natürlich nicht. Deshalb ist der Zentralisator eine Teilmenge des Normalisators.

Diese Schlussfolgerung ist nicht ganz richtig. Der Normalisator kann durchaus auch Teilmenge des Zentralisators sein, nämlich dann, wenn sie übereinstimmen. Wann ist das der Fall?

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