Ungleichungen beweisen

09.05.2014, 15:46	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen beweisen Sei p eine Primzahl und n eine natürliche Zahl. Wieso ist a) $\begin{eqnarray} \sum_{n^{2/3} < p \leq n} log[p] > log[n^{2/3}] ( \pi (n) - \pi ( n^{2/3}) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} log[n^{2/3}] * ( \pi (n) - \pi ( n^{2/3}) \ge 2/3log[n] (\pi (n) - n^{2/3}] \end{eqnarray}$ ? zu a). Die linke Seite ist eine Summe mit $\begin{eqnarray} z := \pi(n) - \pi(n^{2/3}) \end{eqnarray}$ Summanden. Die rechte ein Produkt, und zwar das z-fache von $\begin{eqnarray} log[n^{2/3}] \end{eqnarray}$ , oder anders gesagt: eine Summe bestehend aus n Summanden $\begin{eqnarray} log[n^{2/3}] \end{eqnarray}$ . Da auf der linken Seite jeder Summand größer als n^(2/3) ist, muss daher die Ungleichung stimmen. Verstanden habe ich es hoffentlich richtig? Reicht der Beweis? zu b) Hier wende ich Logarithmusgesetz 3 an und erhalte eigentlich folgende Schritte: Wegen $\begin{eqnarray} log[n^{2/3}] = 2/3 * log[n] \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} log[n^{2/3}] * ( \pi (n) - \pi ( n^{2/3}) = 2/3log[n] (\pi (n) - \pi ( n^{2/3}] \end{eqnarray}$ Dann bleibt also nur noch zu zeigen dass $\begin{eqnarray} \pi (n) - \pi (n^{2/3}) \ge \pi (n) - n^{2/3} \end{eqnarray}$ ne? also: $\begin{eqnarray} \pi (n^{2/3}) \le n^{2/3} \end{eqnarray*}$ zu zeigen? Und stimmt das?
12.05.2014, 07:03	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \pi (n^{2/3}) \le n^{2/3} \end{eqnarray}$ Müsste auch stimmen, weil es zwischen 0 und einer natürlichen Zahl x nicht mehr als x Primzahlen geben kann. Muss ich dies und das von oben dann noch beweisen, wenn ja, wie packe ich das an?
12.05.2014, 09:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht für mich alles sauber aus, und so wie du es beschrieben hast auch ausreichend begründet.

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