Teilbarkeitsrelation und zyklische Gruppe

10.05.2014, 13:58

Iceday

Teilbarkeitsrelation und zyklische Gruppe

Hallo!

Ich lese gerade einen Beweis zu der Behauptung:
"Es sei G endliche Gruppe, die nur genau eine maximale Untergruppe besitzt. Zeige: G ist zyklisch und |G| ist Primzahlpotenz."

Der Beweis lautet:

"Ein Element $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ liegt genau dann in einer maximalen echten Untergruppe, wenn es überhaupt in einer echten Untergruppe liegt, wenn also $\begin{eqnarray*} \langle g \rangle \neq G \end{eqnarray*}$ ist. Ist nun U die einzige maximale echte Untergruppe, so ist $\begin{eqnarray*} G\backslash U \end{eqnarray*}$ nichtleer, und jedes Element dieser Menge muss die Gruppe G erzeugen.
Also ist G zyklisch, isomorph zu einem $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Es bleibt n zu bestimmen: da die Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ eindeutig den Teilern von n entsprechen, besitzt n nur einen einzigen maximalen (bzgl. der Teilbarkeitsrelation) echten Teiler. Wäre n aber durch zwei verschiedene Primzahlen p, q teilbar, so wären $\begin{eqnarray*} \frac{n}{p}, \frac{n}{q} \end{eqnarray*}$ maximale echte Teiler von n. Widerspruch. Also besitzt n nur einen Primteiler und ist damit eine Primzahlpotenz."

Ich habe nun zwei Probleme beim Versuch den Beweis nachzuvollziehen:

1)

Zitat:

Ist nun U die einzige maximale echte Untergruppe, so ist $\begin{eqnarray*} G\backslash U \end{eqnarray*}$ nichtleer, und jedes Element dieser Menge muss die Gruppe G erzeugen.

Wieso gilt das? Kann mir das jemand erklären?

2)

Zitat:

Wäre n aber durch zwei verschiedene Primzahlen p, q teilbar, so wären $\begin{eqnarray*} \frac{n}{p}, \frac{n}{q} \end{eqnarray*}$ maximale echte Teiler von n. Widerspruch. Also besitzt n nur einen Primteiler und ist damit eine Primzahlpotenz.

Das verstehe ich nicht. Wenn p und q verschieden sind, so sind $\begin{eqnarray*} \frac{n}{p}, \frac{n}{q} \end{eqnarray*}$ auch verschieden. Damit muss doch auch einer größer sein?

Iceday

10.05.2014, 17:10

ollie3

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RE: Teilbarkeitsrelation und zyklische Gruppe
hallo,
dazu kann ich dir einiges erklären: wenn man ein element aus einer gruppe der ordung n nimmt und die vielfachen bildet, kann folgendes passieren: hat das
element die ordnung n, durchläuft das erzeugnis die ganze gruppe. Hat das
element eine kleinere ordnung, so erzeugt man damit nur eine untergruppe.
Und wenn G nur eine einzige maximale echte untergruppe hat, muss jedes
andere element dann automatisch die ordnung n haben, denn sonst gäbe es
ja mehrere maximale echte untergruppen. Big Laugh

Und zu 2) Nimm z.B. Z/12Z. Die hätte als maximale echte untergruppen Z/6Z
und Z/4Z, und das wären 2, es soll ja nur eine geben. Und mit maximal ist
hier gemeint, das es nicht noch grössere echte untergruppen gibt, die
Z/6Z oder Z/4Z als teilmengen haben.
gruss ollie3

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