Ordnung einer Gruppe

10.05.2014, 17:29	donpain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung einer Gruppe Hi! Wenn ich eine endliche zyklische Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ habe, welche genau eine echte Untergruppe $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ der Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ hat, wobei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist, kann ich dann mehr über die Ordnung von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ aussagen, als dass sie ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ sein muss? Grüße
10.05.2014, 17:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, kannst du nicht. Denn jede zyklische Gruppe hat zu jedem Teiler genau eine Untergruppe der entsprechenden Ordnung.
10.05.2014, 18:06	donpain	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|G\|=pq \end{eqnarray}$ mit p und q verschiedene Primzahlen? Meine Idee war: Sei die Ordnung von G durch n gegeben. Dann muss gelten: p teilt n 1 teilt n n teilt n, da $\begin{eqnarray} \lbrace id \rbrace \end{eqnarray}$ , H und G Untergruppen sind. Weitere Teiler darf n nicht besitzen. Daraus folgere ich, dass ich n darstellen kann als $\begin{eqnarray} n=kp \end{eqnarray}$ , wobei für k gelten muss: k hat höchstens 1, p, n und k als Teiler p teilt nicht k, da sonst $\begin{eqnarray} p^2 \end{eqnarray}$ Teiler von n n teilt nicht k, da n größer k $\begin{eqnarray} p \geq 2 \end{eqnarray}$ , da sonst $\begin{eqnarray} n=p \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} H=G \end{eqnarray}$ Damit würde folgen dass k von p verschiedene Primzahl ist und somit wäre die Ordnung das Produkt zweier verschiedener Primzahlen. Ist das falsch?
10.05.2014, 18:13	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst also, dass H auch wirklich die einzige echte Untergruppe ist? Dann hat $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ offensichtlich Ordnung $\begin{eqnarray} p^2 \end{eqnarray}$ ...
11.05.2014, 12:22	donpain	Auf diesen Beitrag antworten »
Logisch. Mein Argument mit p ungleich n, weil sonst p^2 Teiler von n ist ja Quatsch. 1, p und n=p^2 sollen ja die Teiler sein. Danke!

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