Aufgabe zum Umkehrsatz

10.05.2014, 18:31

Alfred Gäbeli

Aufgabe zum Umkehrsatz

Meine Frage:
Beweisen Sie die Existenz von Umgebungen U von (0,0) und V von (1,1) so, dass das System von Gleichungen

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2+z^2+zve^x =2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xe^z +ye^v -z+v =0 \end{eqnarray*}$

eine einzige Loesung $\begin{eqnarray*} (z^{\star}(x,y),v^{\star} (x,y)) \in V \end{eqnarray*}$ fuer jede $\begin{eqnarray*} (x,y) \in U \end{eqnarray*}$ besitzt. Berechnen Sie die Jacobi-Matrix der Abbildung

$\begin{eqnarray*} (x,y) \mapsto (z^{\star}(x,y),v^{\star} (x,y)) \end{eqnarray*}$

an der Stelle (0,0)

Meine Ideen:
Ehrlich gesagt, ich habe keine Ahnung. Die Theorie dazu hab ich schon etliche male durchgelesen.
Ich weiss nicht wie ich diese beiden Punkte (0,0) von U und (1,1) von V einsetzen muss.
Besten Dank fuer jegliche Hilfe.

10.05.2014, 19:39

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RE: Aufgabe zum Umkehrsatz
Hier dürfte wohl eher der Satz über implizite Funktionen helfen, nicht der Umkehrsatz

11.05.2014, 15:51

Alfred Gäbeli

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Besten Dank fuer die Antwort. Das hat mir schonmal viel geholfen.

Die Punkte (0,0) und (1,1) loesen also das System.

Ich kann es also folgendermassen umschreiben:

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2+ (z^{\star}(x,y))^2 + z^{\star}(x,y)\cdot v^{\star}(x,y)e^x=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xe^{z^{\star}(x,y)}+ ye^{v^{\star}(x,y)}- z^{\star}(x,y)+v^{\star}(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Nun kann ich doch die obere Gleichung irgendwie als Funktion F_1 und F_2 definieren.
Ich weiss aber nicht genau wie, und ich weiss nicht genau nach was diese nun zu differenzieren sind.

Folgendes habe ich probiert:

$\begin{eqnarray*} F_1(x,y) = x^2+y^2+ (z^{\star}(x,y))^2 + z^{\star}(x,y)\cdot v^{\star}(x,y)e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_2(x,y) = xe^{z^{\star}(x,y)}+ ye^{v^{\star}(x,y)}- z^{\star}(x,y)+v^{\star}(x,y) \end{eqnarray*}$

und jetzt das ableiten, so entsteht die folgende Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \partial_x F_1(1,1) & \partial_y F_1(1,1) \\ \partial_x F_2(1,1) & \partial_y F_2(1,1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

geht das schonmal in die richtige Richtung?

11.05.2014, 16:57

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Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
$\begin{eqnarray*} F_1(x,y) = x^2+y^2+ (z^{\star}(x,y))^2 + z^{\star}(x,y)\cdot v^{\star}(x,y)e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_2(x,y) = xe^{z^{\star}(x,y)}+ ye^{v^{\star}(x,y)}- z^{\star}(x,y)+v^{\star}(x,y) \end{eqnarray*}$
geht das schonmal in die richtige Richtung?

Leider nein. Die Funktionen hängen noch von allen vier Variablen x,y,z,v ab und differenziert wird nach z,v. Lies nochmal nach.

11.05.2014, 17:55

Alfred Gäbeli

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Okay.

$\begin{eqnarray*} F_1(x,y,z^{\star}(x,y),v^{\star}(x,y))=x^2+y^2+ (z^{\star}(x,y))^2 + z^{\star}(x,y)\cdot v^{\star}(x,y)e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_2(x,y,z^{\star}(x,y),v^{\star}(x,y))=xe^{z^{\star}(x,y)}+ ye^{v^{\star}(x,y)}- z^{\star}(x,y)+v^{\star}(x,y) \end{eqnarray*}$

und es gilt

$\begin{eqnarray*} F_1(0,0,z^{\star}(1,1),v^{\star}(1,1))=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_2(0,0,z^{\star}(1,1),v^{\star}(1,1))=0 \end{eqnarray*}$

und die Matrix muesste dann so aussehen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \partial_z F_1(0,0,1,1) & \partial_v F_1(0,0,1,1) \\ \partial_z F_2(0,0,1,1) & \partial_v F_2(0,0,1,1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

an den Ableitungen $\begin{eqnarray*} \partial_z F_1(x,y,z^{\star}(x,y),v^{\star}(x,y)) \end{eqnarray*}$ etc. arbeite ich noch. Die abstrakten Ausdruecke bereiten mir etwas schwierigkeiten. Werde sie hier posten sobald ich damit fertig bin.

11.05.2014, 18:11

Alfred Gäbeli

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also ich habe

$\begin{eqnarray*} \partial_z F_1 = 2(z^{\star}(x,y)) \cdot z^{\star'}(x,y) + z^{\star'}(x,y) \cdot v^{\star}(x,y) \cdot e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial_v F_1 = v^{\star'}(x,y) \cdot z^{\star}(x,y) \cdot e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial_z F_2 = x \cdot e^{\cdot z^{\star}(x,y)} \cdot z^{\star'}(x,y) - z^{\star'}(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial_v F_2 = y\cdot e^{v^{\star}(x,y)}\cdot v^{\star'}(x,y) + v^{\star'}(x,y) \end{eqnarray*}$

wie sieht das aus?

11.05.2014, 18:27

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Nicht gut

x,y,z,v sind jetzt noch unabhängige Variablen. Du willst doch erst zeigen, dass z und v implizit von x,y abhängen.
Was $\begin{eqnarray*} z^{*'} \end{eqnarray*}$ sein soll, entgeht mir. Ich vermute eine Art Nachdifferenzieren.

Richtig wäre
$\begin{eqnarray*} F_1(x,y,z,v)=x^2+y^2+ z^2 + zve^x-2 \end{eqnarray*}$
und analog F_2 und dann beides nach z,v differenzieren und überlegen, dass die entstehende Matrix regulär ist.

Lies nochmal nach

11.05.2014, 19:28

Alfred Gäbeli

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also nochmal,

$\begin{eqnarray*} F_1(x,y,z,v) = x^2 + y^2+z^2+zve^x -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_2(x,y,z,v) = xe^z +ye^v -z+v \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} \partial_z F_1 = 2z+ve^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \partial_v F_1 = ze^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \partial_z F_2 = xe^z-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \partial_v F_2 = ye^v+1 \end{eqnarray*}$

und dies fuehrt auf die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \partial_z F_1(0,0,1,1) & \partial_v F_1(0,0,1,1) \\ <br /> \partial_z F_2(0,0,1,1) & \partial_v F_2(0,0,1,1) \\ \end{pmatrix} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ <br /> (-1) & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Determinante dieser Matrix ist $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ und somit ist sie invertierbar, also regulaer.

11.05.2014, 19:35

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11.05.2014, 19:44

Alfred Gäbeli

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Suuuper! Danke danke danke!!! smile

Und die Jacobimatrix der Abbildung

$\begin{eqnarray*} (x,y) \mapsto (z^{\star}(x,y),v^{\star} (x,y)) \end{eqnarray*}$

ist jetzt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2z+ve^x & ze^x \\ xe^z-1 & ye^v+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ja?

11.05.2014, 20:06

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nein.
Lies nochmal nach Lehrer

11.05.2014, 20:48

Alfred Gäbeli

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das waere ja auch zuu einfach gewesen smile

Aber ich seh schon, ich komm mit der Theorie noch lange nicht klar.

In meinem Skript steht, dass sich diese Jacobimatrix mittels Kettenregel irgendwie herleiten laesst.
Ob ich das heute Abend noch begreifen werde ist jedoch fraglich.

Es gibt auch beispiele in meinem Skript, aber nur solche mit zwei abhaengigen Variablen, nicht mit 4.

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