Taylorentwicklung

10.05.2014, 19:25

ChronoTrigger

Taylorentwicklung

Hallo,

ich versuche gerade, einen Beweis nachzuvollziehen, bei der ein Ausdruck durch einen anderen mittels Taylorentwicklung ersetzt werden soll, aber mir ist nicht ganz klar, wie man darauf kommt.

Es seien $\begin{eqnarray*} x,\vartheta_0,\xi \in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \delta \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Hierbei soll $\begin{eqnarray*} \vartheta_0 \end{eqnarray*}$ der Parameter sein, und $\begin{eqnarray*} x,\xi,\delta \end{eqnarray*}$ sind fest.

Der Beweis sagt nun folgendes:

Zitat:

The Taylor expansion of $\begin{eqnarray*} - \left ( \frac{x}{\vartheta_0 + \delta} \right ) - \log ((\vartheta_0 + \delta)^\xi) \end{eqnarray*}$ for $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\vartheta_0} \to 0 \end{eqnarray*}$ is
$\begin{eqnarray*} - \frac{x}{\vartheta_0 + \delta} - \log ((\vartheta_0 + \delta)^\xi) = - \frac{x}{\vartheta_0} - \log(\vartheta_0^\xi) + \delta \left (\frac{x}{\vartheta_0^2} - \frac{\xi}{\vartheta_0} \right ) + o \left ( \frac{\delta}{\vartheta_0} \right ) \end{eqnarray*}$

Ich vermute, dass hierbei als Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\vartheta_0} \end{eqnarray*}$ genommen wurde, aber sicher bin ich mir dabei nicht. Bisher weiß ich nur, dass aus $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\vartheta_0} \to 0 \end{eqnarray*}$ folgt, dass

$\begin{eqnarray*} \vartheta_0 + \delta = \vartheta_0 + \frac{\vartheta_0 \delta}{\vartheta_0} = \vartheta_0 \left ( 1 + \frac{\delta}{\vartheta_0} \right ) \to \vartheta_0 \end{eqnarray*}$

gilt, aber mir ist nicht klar, wie ich das hier verwenden kann.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen dank schonmal im voraus.

15.05.2014, 16:41

ChronoTrigger

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Hat vielleicht jemand eine Idee? Ich hänge leider immer noch an diesem Problem.

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