endliche projektive Ebenen

10.05.2014, 19:52	Erdos93	Auf diesen Beitrag antworten »
endliche projektive Ebenen Meine Frage: Beweisen Sie: Zu je zwei verschiedenen Punkten p und q in $\begin{eqnarray} \Pi \end{eqnarray}$ gibt es eine Gerade, die weder durch p, noch durch q geht. Dabei bezeichne $\begin{eqnarray} \Pi \end{eqnarray}$ eine endliche projektive Ebene. Meine Ideen: Für den Beweis habe ich folgende Idee, weiß aber nicht genau, ob das so richtig ist: Es gibt 4 Geraden in $\begin{eqnarray} \Pi \end{eqnarray}$ ab, ac, bd, cd. Wenn eine dieser Geraden weder durch p, noch durch q geht, dann haben wir die gesuchte Gerade gefunden. Andernfalls sei p=a, q=b, $\begin{eqnarray} \bar{p}=c , \bar{q}=d \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} p\neq q \end{eqnarray}$ weil keine drei der Geraden ab, ac, bd, cd durch einen gemeinsamen Punkt gehen. Die Schnittgerade S von $\begin{eqnarray} \bar{p} , \bar{q} \end{eqnarray}$ ist aus dem selben Grund von ab, ac, bd, cd verschieden. S liegt nicht auf p, weil sonst $\begin{eqnarray} \bar{p}=p \end{eqnarray}$ wäre, also a auf S, also acd auf S lägen und es liegen nach Definition keine drei der Punkte des Vierecks auf einer Geraden. Aus analogen Gründen liegt S nicht auf q. Geht der Beweis so, oder hab ich irgendwo ein Fehler eingebaut, den ich übersehe. Vielen Dank schon mal vorab für die Hilfe!

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