Komplexe Wegintegrale

10.05.2014, 18:16	Trader	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Wegintegrale Meine Frage: Ich habe hier einige Aufgaben, bei denen ich mir nicht sicher bin ob ich richtig gerechnet habe, da ich vor allem noch bei parametriesierungen so meine Probleme habe Berechnen Sie die folgenden Wegintegrale a) $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! zRez \, dz \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ der Weg von 0 nach 1+i auf der Parabel $\begin{eqnarray} Imz=(Rez)^2 \end{eqnarray}$ ist b) $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! \|z\|^2 \, dz \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ den Rand des Dreiecks mit Eckpunkten 0,1 und i ein Mal gegen den Uhrzeigersinn durchläuft c) $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! \frac{e^z-1}{z} \, dz \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \gamma(t)=e^{it} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\in[0,2\pi] \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! \overline{z}^2 \, dz \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \gamma(t)=e^{it}sin(t) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\in[0,T] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T>0 \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} L(\gamma)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a)Hier habe ich die Parametrisierung $\begin{eqnarray} \gamma(t)=t(1+i) \end{eqnarray}$ gewählt und damit folgt $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! zRez \, dz=\int_\gamma \! \frac{1}{2}(z^2+\|z\|^2) \, dz=\int_0^1 \! f(\gamma)(\gamma)' \, dt=\int_0^1 \! \frac{1}{2}((t(1+i))^2+t^2)(1+i) \, dt=...=\frac{1}{6}(3i-1) \end{eqnarray}$ b)Hier habe ich folgende Parametrisierungen gewählt $\begin{eqnarray} \gamma_1:z_1(t)=t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma_2:z_2(t)=1+t(i-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma_3:z_3(t)=i(1-t) \end{eqnarray}$ und damit folgt $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! \|z\|^2 \, dz=\sum\limits_{k=1}^3\int_0^1 \! f(z_k(t))(z_k(t))' \, dt=\sum\limits_{k=1}^3\int_0^1 \! \|z_k(t)\|^2z_k'(t) \, dt=\int_0^1 \! \|t\|^2\, dt+\int_0^1 \! \|(1-t)+ti\|^2(i-1)\, dt+\int_0^1 \! \|i(1-t)\|^2(-i)\, dt=\int_0^1 \! t^2\, dt+\int_0^1 \! ((1-t)^2+t^2)(i-1)\, dt+\int_0^1 \! (1-t)^2(-i)\, dt=...=\frac{1}{3}(i-1) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! \|z\|^2 \, dz=\int_0^{2\pi} \! f(e^{it})(e^{it})' \, dt=\int_0^{2\pi} \! (\frac{e^{e^{it}}-1}{e^{it}})(ie^{it}) \, dt=\int_0^{2\pi} \! i(e^{e^{it}}-1) \, dt=i(\int_o^{2\pi} \! e^{e^{it}} \, dt-\int_0^{2\pi} \! 1 \, dt)=i(-i\int_{\|z\|=1} \! \frac{e^z}{z} \, dz-\int_0^{2\pi} \! 1 \, dt)=...=0 \end{eqnarray}$ d)T bestimmt man über $\begin{eqnarray} L(\gamma)=\int_0^T \! \|\gamma'(t)\| \, dt=\int_0^T \! \|e^{2it}\| \, dt=\int_0^T \! 1 \, dt=T \end{eqnarray}$ Wegen der Voraussetzung folgt damit $\begin{eqnarray} T=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ Für das Wegintegral folgt $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! \|z\|^2 \, dz=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \! f(e^{it}sin(t))(e^{it}sin(t))' \, dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \! (\overline{e^{it}sin(t)})^2e^{2it} \, dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \! (\frac{1}{2i}(e^{-2it}-1))^2e^{2it} \, dt=...=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ So, danke schonmal fürs durchgehen der Aufgaben Das wichtigste ist mir, ob die Anfänge jeder Aufgabe korrekt sind, die Rechnungen anschließend müssten dann ok sein, hoffe da könnte der ein oder andere ein Auge drauf werfen

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