Lipschitz-Stetig im R3

10.05.2014, 21:16

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Lipschitz-Stetig im R3

Hallöchen und guten Abend,

ich setzt mich zur Zeit mit dem Thema Stetigkeit auseinander und habe eine Frage zur Lipschitzstetigkeit:

Wir sollen schauen, ob folgende Funktion im Nullpunkt stetig fortsetzbar ist:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)= \frac {|x| + |y| + |z|}{|(x,y,z)|} \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung war, dass ich die Lipschitzbedingung so nutze, dass ich zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a=\begin{pmatrix} t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b=\begin{pmatrix} t \\ t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in sie einsetze und t gegen Null Laufen lasse. Da L > 0 ist, versuche ich damit einen Widerspruch zu erzeugen.

Meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} f(\vec a) =\frac { |t|+0+0}{\sqrt t^2}= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f( \vec b)= \frac {|t|+|t|+0}{\sqrt {t^2+t^2}} = \frac {2t}{\sqrt {2t^2}}=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$

Aus der Differenz (a-b) erhalte ich einen Vektor mit nur einem t in der 2. Komponente, die länge dieses Vektors ist dann t (natürlich), also erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} |1- \sqrt 2| \leq L \cdot t \end{eqnarray*}$

Die Bedingung ist ja L >0, wenn ich also umstelle:

$\begin{eqnarray*} \frac {|1-\sqrt 2|}{t} \end{eqnarray*}$ und t gegen 0 laufen lasse, erhalte ich ja keinen Widerspruch, da der Bruch auf der linken Seite irrsinnig groß wird, und einfach nur kleiner ist als L.

Könnt ihr mir einen Tipp geben?

Danke!

11.05.2014, 12:08

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemeine Frage:

Ist der Ansatz mit der Variable denn richtig?

Im R³ ist es ja relativ schwer, "von allen Seiten" zu kommen und so zu schauen, ob die Funktion im Punkt 0 von allen Seiten die gleichen Funktionswerte ergibt..

unglücklich

unglücklich

geschockt

11.05.2014, 12:19

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lipschitz-Stetig im R3
Ich verstehe nicht ganz, worauf du hinaus willst, denn hier

Zitat:

Original von DeltaX
$\begin{eqnarray*} f(\vec a) =\frac { |t|+0+0}{\sqrt t^2}= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f( \vec b)= \frac {|t|+|t|+0}{\sqrt {t^2+t^2}} = \frac {2t}{\sqrt {2t^2}}=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$

bist du schon fertig.
Edit: Mit Lipschitz hat das gar nichts zu tun.

11.05.2014, 12:23

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also da sich das t ja rauskürzt, kann ich es ja nicht mehr gegen null laufen lassen, und da zwei verschiedene Werte herauskommen, ist es dann im Punkt 0 nicht fortsetzbar, oder?

Edit:// Unser Tutoriumsleiter meinte, die Aufgabe löst man mit der Lipschitz-Stetigkeit.
Mit ihr könne man sehen /testen, ob die Funktion im Punkt 0 Stetig ist.

Ich versuche mich dann gleich mal an der zweiten Aufgabe, bei der sich nur die Funktion etwas geändert hat,die Aufgabenstellung ist aber die selbe.

11.05.2014, 12:27

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DeltaX
Achso, also da sich das t ja rauskürzt, kann ich es ja nicht mehr gegen null laufen lassen,

das ist falsch. Natürlich kannst du den Grenzwert bilden, der Ausdruck hängt einfach nicht mehr von t ab

Zitat:

und da zwei verschiedene Werte herauskommen, ist es dann im Punkt 0 nicht fortsetzbar, oder?

das ist richtig.

11.05.2014, 12:37

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also bei dieser Funktion könnte das vielleicht was werden:

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)= \frac { xy+yz+zx}{|(x,y,z)|} \end{eqnarray*}$

Habe das jetzt mit :

$\begin{eqnarray*} \vec a =\begin{pmatrix} t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \vec b = \begin{pmatrix} t \\ t \\ 0 \end{pmatrix}, \vec c = \begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ausprobiert, man erhält als Grenzwert immer die 0.

Ist es hier vielleicht dann schlauer Lipschitz anzuwenden?

Anzeige

11.05.2014, 13:07

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher ist doch g nicht mal im Nullpunkt definiert.
Ich würde im Zähler das Skalarprodukt erkennen und dann abschätzen.

11.05.2014, 13:09

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe das jetzt mal gemacht und zwar mit den Vektoren a und b von oben smile

smile

Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} g(\vec a ) = 0 \end{eqnarray*}$ (da im Zähler ja nur 0en vorhanden sind)

und

$\begin{eqnarray*} g(\vec b)=\frac {t^2}{\sqrt {2t^2}} = \frac { t}{ \sqrt 2} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} | 0 - \frac {t}{\sqrt 2}| \leq L \cdot |\begin{pmatrix} t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} t \\ t \\ 0 \end{pmatrix} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {t}{\sqrt 2} \leq L \cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {1}{\sqrt 2} \leq L \end{eqnarray*}$

Also ließe sich g(x,y,z) im Punkt stetig fortsetzen, oder?

Edit:// Habe nur gedacht, wenn er es schon so betont hatte, dann sollte sich ja irgendeine Aufgabe darauf beziehen..

Und: sorry hab die Vorschrift vergessen:

$\begin{eqnarray*} f,g: \mathbb R^3 \backslash \{\vec 0\} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

11.05.2014, 13:20

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

So wird das nix. Wegen g(a)=0 kannst du schließen, dass notwendig g(0)=0 sein muss, damit überhaupt eine Chance besteht, g stetig fortsetzen zu können.

Du nimmst dann noch einen zweiten speziellen Vektor b und zeigst irgend etwas. Auf die Art kannst du nicht zeigen, dass g im Nullpunkt stetig ist.
Vielmehr musst du $\begin{eqnarray*} g(x,y,z)\to 0\mbox{ für } (x,y,z)\to 0 \end{eqnarray*}$ zeigen. Und dafür ist mein vorheriger Hinweis da - der übrigens zwanglos die Lipschitzstetigkeit von g zeigt.

11.05.2014, 13:34

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zähler ist aber doch nicht das Standard-Skalarprodukt im R³, oder irre ich mich?

Es wird ja vielmehr jede Komponente eimal mit den beiden anderen Komponenten multipliziert, aber da verstehe ich nicht genau, wie eine Abschätzung aussehen kann?

Benötige ich nicht dennoch mind. einen Vektor, der gegen 0 geht, wie in deinem letzten Post?

Meinst du mit der Abschätzung vielleicht:

(allg.):

$\begin{eqnarray*} \langle |\vec a , \vec b \rangle | \geq k \cdot | \vec a | \end{eqnarray*}$

Danke aber auch hier mal für deine Mühe!

11.05.2014, 16:53

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DeltaX
Im Zähler ist aber doch nicht das Standard-Skalarprodukt im R³, oder irre ich mich?

du irrst

Zitat:

Es wird ja vielmehr jede Komponente eimal mit den beiden anderen Komponenten multipliziert, aber da verstehe ich nicht genau, wie eine Abschätzung aussehen kann?

schreib dir das Skalarprodukt (u,v,w) mit (r,s,t) hin und schau, wie du r,s,...,w wählen musst um den Zähler zu erhalten.

Zitat:

Benötige ich nicht dennoch mind. einen Vektor, der gegen 0 geht, wie in deinem letzten Post?

das verstehe ich nicht

Für das Skalarprodukt gibt es eine seeeehr bekannte Ungleichung, die auch hier zum Ziel führt

11.05.2014, 17:16

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Ooooohman, ich sehe vielleicht die Richtung,

Den Zähler kann ich aus den Vektoren und anschließender Skalarproduktbildung wie folgt erhalten:

$\begin{eqnarray*} \langle \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y \\ z \\ x \end{pmatrix} \rangle= xy+yz+zx \end{eqnarray*}$

nenn ich diese Vektoren mal nach der Reihenfolge $\begin{eqnarray*} \vec \lambda \end{eqnarray*}$ , bzw. $\begin{eqnarray*} \vec \xi \end{eqnarray*}$ , so kann ich die Schwarzsche Ungleichung anwenden:

$\begin{eqnarray*} |\langle \vec \lambda , \vec \xi \rangle|^2 \leq ||\vec \lambda ||^2 \cdot ||\vec \xi ||^2 \end{eqnarray*}$

Also kann ich wurzeln und erhalte:

$\begin{eqnarray*} |\langle \vec \lambda , \vec \xi \rangle| \leq ||\vec \lambda || \cdot ||\vec \xi || \end{eqnarray*}$

Jetzt fällt mir allerdings die Anwendung nicht sofort auf, da die x,y,z Komponenten auch negativ sein können und ich nich einfach einen Betrag hinzufügen kann, oder?

11.05.2014, 17:19

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat, du siehst die Richtung Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von DeltaX
Jetzt fällt mir allerdings die Anwendung nicht sofort auf, da die x,y,z Komponenten auch negativ sein können und ich nich einfach einen Betrag hinzufügen kann, oder?

Überleg dir mal, was du eigentlich zeigen willst, dann kommt der Betrag von allein Big Laugh

Big Laugh

11.05.2014, 17:31

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ohne deine Hinweise hätte ich da jetzt nur gezeigt das mit der Lipschitzstetigkeit die Fkt. stetig wäre, aber ich weiß ja jetzt, was auch logisch ist,
dass ist nur Zeigen muss, dass die Funktionswerte eines beliebigen Vektors gegen Null gehen, wenn seine Komponenten gegen Null gehen.

Meintest du, dass, wenn die Funktionswerte gegen Null gehen, ja auch der Betrag gegen Null geht, und ich somit wieder abschätzen kann und dann anschließend die Schwarz'sche Ungleichung benutze?

11.05.2014, 17:36

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auch wenn ich es anders formulieren würde:
Wegen g(a)=0 weißt du, dass nur die Definition g(0,0,0):=0 in Frage kommt.
Für Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt betrachtest du |g(x,y,z)-g(0,0,0)|=|g(z,y,z)| und schon ist ein Betrag da, wo du ihn brauchst. Der Rest geht wie von dir beschrieben.

11.05.2014, 17:42

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist dann aber eben das Problem, dass g(0,0,0) nicht definiert ist :/

11.05.2014, 18:29

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du eigentlich verstanden, was die Aufgabe ist?

11.05.2014, 18:38

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke (?)

Ich soll untersuchen bzw. prüfen, ob g(x,y,z) im Punkt 0 stetig fortsetzbar ist, aber ich gehe dennoch davon aus, wenn ich in einer Klausur dann schreibe, dass:

|g(x,y,z)-g(0,0,0)|=|g(x,y,z)|

, dass ich einen Fehler angeschrieben bekomme, weil bis dato ja g(0,0,0) noch nicht definiert ist.

Oder reicht deine Definition von a:=(0,0,0), da dieser ja als Vektor in Frage kommt (dein vorletzter Post...). Im Endeffekt ist mir das klar, dass, wenn die Komponenten ja gegen 0 gehen, dass nur (0,0,0) herauskommt.

ch hab wie gesagt nur gedacht, dass darf man erst nach nem Beweis so schreiben.

11.05.2014, 18:45

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben es doch definiert:

Zitat:

Original von URL
Wegen g(a)=0 weißt du, dass nur die Definition g(0,0,0):=0 in Frage kommt.

a war der von dir gewählte Vektor (t,0,0) und diente letztlich nur dazu überhaupt eine Idee zu bekommen, wie man denn g(0,0,0) sinnvoll definieren kann.

11.05.2014, 18:48

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, alles klar.

Dann kann ich im weiteren ja den Betrag des Skalarproduktes einfügen, sodass ich dann xy+yz+zx ausgetauscht habe durch den Betrag des Skalarproduktes.

Den Rest der Funktion lasse ich unberührt.

Demnach ist es dann auch erlaubt, das Skalarprodukt über Schwarz abzuschätzen indem ich die Norm der beiden Vektoren nehme.

Soweit so richtig?

11.05.2014, 18:55

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft noch folgende Überlegung, um den Weg bis hierher zu verstehen:
Wenn sich g überhaupt im Nullpunkt stetig fortsetzen lässt, dann muss $\begin{eqnarray*} g(0,0,0)=\lim_{t\to 0}g(a)=\lim_{t\to 0}g(t,0,0) \end{eqnarray*}$ sein.
Jetzt ist aber g(t,0,0)=0 für jedes t. Also ist erst recht $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0}g(a)=\lim_{t\to 0}g(t,0,0)=0 \end{eqnarray*}$
Also kann g höchstens durch die Definition g(0,0,0):=0 stetig fortgesetzt werden.
Jetzt muss man aber noch nachprüfen, dass mit dieser Definition g wirklich im Nullpunkt stetig ist. Bisher ist das nur für Annäherung aus der Richtung (1,0,0) gezeigt.

Und für diesen allgemeinen Beweis der Stetigkeit kannst du nun endlich die Cauchy-Schwarzsche verwenden

11.05.2014, 19:00

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin immernoch verwirrt,

ich kann also mit der Cauchy-Schwz. Ungleichung zeigen, dass egal von welcher Richtung man sich 0 annähert, dass alle Funktionswerte von Vektoren, für komponentenweises streben gegen 0, auch gegen 0 gehen?

Leider hatte ich bis jetzt keine vergleichbare Aufgabe, daher hapert es da ganz schön..

11.05.2014, 19:13

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau genommen für $\begin{eqnarray*} |(x,y,z)|\to 0 \end{eqnarray*}$ .
Allerdings ist das äquivalent zu komponentenweiser Konvergenz

11.05.2014, 19:21

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich übertrag das nun mal:

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)= \frac { \langle \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y \\ z \\ x \end{pmatrix} \rangle } { |(x,y,z)|} \end{eqnarray*}$

-> CS-Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} [...]\leq \frac { |(x,y,z)|\cdot |(y,z,x)|}{|(x,y,z)|} = |(y,z,x)| \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier dann alle Komponenten gegen 0 laufen lasse, erhalte ich ja den Nullvektor.

Ich würde das nun so interpretieren, dass ich dem Funktionswert keine andere Wahl gelassen habe, als das er gegen 0 strebt, da ja der größere Teil der Ungleichung ebenfalls gegen 0 strebt..

Gibt's einen Lichtblick für mich? geschockt

geschockt

Gott

11.05.2014, 19:27

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so geht das.

Du kannst dich auch von der komponentenweisen Konvergenz befreien, weil |(y,z,x)|=|(x,y,z)|
und das geht nach Voraussetzung gegen Null.

11.05.2014, 19:52

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt schreibe, dass g(x,y,z) im Nullpunkt stetig fortsetzbar ist, ist es dann hier im R³ nötig, nochmal den Betrag des Vektors als Wurzel zu schreiben und dann die Grenzwertbetrachtung durchzuführen, oder reicht das hier dann schon?

11.05.2014, 20:20

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Das reicht so.

Das ist grundsätzlich nicht nötig und in einem allgemeinen normierten Vektorraum kannst du das auch gar nicht machen. Aber das ist eine andere Geschichte smile

smile

11.05.2014, 20:26

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Whew, danke erstmal für das ganze, Ohne dich hätt ich voll versagt...

Eine frage habe ich noch, kann es eine Funktion geben, die, wenn man sich linear dem Nullpunkt annähert auch zu Null wird,

wenn man allerdings quadratische Terme in den Komponenten hat, dass dann dort verschiedene Grenzwerte herauskommen?

Zumindest habe ich hier eine Funktion, in die man Vektoren der Form (kx,ky) einsetzen kann, dann ist der limes k-> 0 immer 0.

Nimmt man jedoch z.B. (k,k²) und (k,-k²) dann erhält man unterschiedliche Grenzwerte für k gegen 0...

Das liegt echt an den Grenzen meiner 3D Vorstellungskraft, für mich ist das dann so wie ein Planetenbahnenmodell, alles was in nicht "frontal" in die Null fliegt, wird abgelenkt und alles was direk linear draufzu fliegt, kollidiert mit dem Punkt 0...

Freude

Freude

Wink

11.05.2014, 20:49

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das recht verstehe, hast du doch schon so eine Funktion vorliegen Big Laugh

Big Laugh

11.05.2014, 20:59

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Hätt' ja sein können, dass ich da großen Unfug gerechnet habe und sowas allg. nicht möglich ist smile

smile

Aber gut, alles klar und dankeschön nochmal für deine große Mühe! smile

smile

Freude

Wink

11.05.2014, 23:58

Mannyc

Auf diesen Beitrag antworten »

Abend, ich hätte da mal eine Frage.

Wenn in der Aufgabe wie hier untersucht werden soll ob sich die Funktionen stetig in den Punkt 0 fortsetzen lassen, wird dann gemeint das nur die Stetigkeit im Punkt 0 gefragt wird oder wie kann man das verstehen?

Und wann nutzt man die Lipschitz-Stetigkeit? Ich habe es so verstanden, dass sich dies nur auf Intervalle bezieht und man die Punktstetigkeit mit den Folgenkriterium untersucht.

Und wieso wählst du beliebige Vektoren a,b und c ? Man könnte so doch nur ein Gegenbeispiel zeigen. Muss man das nicht ,,allgemeiner" machen?

PS. Ich habe keine Ahnung und befass mich neu damit, deshalb meine (vielleicht falsch verstandenen) fragen dazu.

12.05.2014, 03:12

Mannyc

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab es jetzt verstanden. Der Grenzwert an der Stelle Null (Hier wird gefragt ob die Funktion im Nullpukt stetig ist) muss von allen drei folgen übereinstimmen wobei

1) lim x->0 mit f(x,0,0)
2) lim x->0 mit f(x,x,0)
3) lim x->0 mit f(x,x,x)

Da 1) und 2) ungleich sind, kann die Funktion im Nullpunkt nicht stetig sein.

Wenn nun die Stetigkeit im Punkt 2 untersucht werden sollte, dann würde alles gleich bleiben bis auf x->2 oder?

Aber wieso das x,0,0 dann x,x,0 und letztendlich x,x,x im IR^3

In meinem ersten Post hatte ich gefragt was damit gemeint wird: Wenn in der Aufgabe wie hier untersucht werden soll ob sich die Funktionen stetig in den Punkt 0 fortsetzen lassen. Damit wird die Stetigkeit im Punkt 0 gemeint denke ich nun.

12.05.2014, 09:42

Mannyc

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will ma korrigieren,

,,Wenn nun die Stetigkeit im Punkt 2 untersucht werden sollte, dann würde alles gleich bleiben bis auf x->2 oder?"

Es sollte dann so aussehen

Wenn nun die Stetigkeit im Punkt 2 untersucht werden sollte, dann würde alles gleich bleiben bis auf x->2 oder?

1) lim x->0 mit f(x,2,2)
2) lim x->0 mit f(x,x,2)
3) lim x->0 mit f(x,x,x)

12.05.2014, 09:44

Mannyc

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sollte mir einen Acc zulegen damit ich editieren kann.

Ich meinte

1) lim x->2 mit f(x,2,2)
2) lim x->2 mit f(x,x,2)
3) lim x->2 mit f(x,x,x)

Oder wie schreibt man das wenn man die Stetigkeit im Puntk 2 untersuchen will?

12.05.2014, 11:29

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie URL bei meiner Aufgabe a) bestätigt hat, musst du für allg. Stetigkeit in einem bestimmten Punkt zeigen, dass sich jede Folge, dessen Grenzwert gerade die gesuchten Komponenten des Punktes sind [ hier: (2,2,2) bei dir ], als Funktionswert gegen den Selben Wert strebt. Wenn du also 2 Folgen gefunden hast, die komponentenweise gegen deinen (2,2,2) Punkt streben, aber die Funktionswerte dieser streben gegen 2 verschiedene Werte, dann kannst du die Funktion eben nicht in dem Gesuchten Punkt stetig fortsetzen.

12.05.2014, 12:47

Mannyc

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DeltaX
Wie URL bei meiner Aufgabe a) bestätigt hat, musst du für allg. Stetigkeit in einem bestimmten Punkt zeigen, dass sich jede Folge, dessen Grenzwert gerade die gesuchten Komponenten des Punktes sind [ hier: (2,2,2) bei dir ], als Funktionswert gegen den Selben Wert strebt. Wenn du also 2 Folgen gefunden hast, die komponentenweise gegen deinen (2,2,2) Punkt streben, aber die Funktionswerte dieser streben gegen 2 verschiedene Werte, dann kannst du die Funktion eben nicht in dem Gesuchten Punkt stetig fortsetzen.

Danke schön, das meiste habe ich nun verstanden. Ich bin jedoch noch etwas verwirrt wie ich meine Folgen zu bestimmen habe und wie ich das ganze aufzuschreiben habe.

Wenn ich nun die von dir genannte Funktion im Punkt (3,3,3) z.B. untersuchen will:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)= \frac {|x| + |y| + |z|}{|(x,y,z)|} \end{eqnarray*}$

Folgt dann

1) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} f(x,0,0) \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} f(x,x,0) \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} f(x,x,x) \end{eqnarray*}$

Oder wie müsste explizit das markierte aussehen?

Also f(x,0,0), f(x,x,0), f(x,x,x)

1) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} f(x,3,3) \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} f(x,x,3) \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} f(x,x,x) \end{eqnarray*}$

Und wenn diese Grenzwerte alle gleich sind, dann ist die Funktion im Punkt (3,3,3) stetig.

12.05.2014, 12:48

Mannyc

Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll x ->3 lauten nicht oo ->3.

13.05.2014, 19:41

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn f im Punkt (3,3,3) stetig sein soll, dann müssen all diese (und auch alle möglichen anderen) Folgen, die sich dem Punkt (3,3,3) annähern, den selben Grenzwert haben.

URL hatte schon darauf verwiesen, dass man dann deine Möglichkeit nur benutzt, um einen Widerspruch zu erzeugen, denn es gibt im Endeffekt unendlich viele Möglichkeiten, um sich dem Punkt (3,3,3) anzunähern.

Die Herangehensweise ist allerdings voll korrekt. smile

smile

[ Sorry für die späte Antwort, konnte nicht an den PC smile

smile

]

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »