x quadrat kleiner als 1 durch x

10.05.2014, 23:47

akamanston

x quadrat kleiner als 1 durch x

Hi,

vielleicht liegt es daran, dass es schon so spät ist. aber ich glaube ich bin einfach zu blöd=)

$\begin{eqnarray*} x < \frac{1}{x} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x < \pm \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

für mich ist nun alles was kleiner als eins (ohne null) die lösung.

andere haben aber eine fallunterscheidung gemacht x>0 und x<0. das machen die wohl weil man nicht weiß ob sich das vorzeichen ändert wenn man mit x multipliziert. aber in meiner lösung ist der fall doch schon mit drein weil ich sage +- wurzel, oder nicht? ich hab hier nur so beispiele und die verwirren mich total. ich hab doch da früher auch nicht so eine fall unterscheidung gemacht.

und noch was. wieso ergibt die gleichung $\begin{eqnarray*} x^{2} < 1 \end{eqnarray*}$ wieder eine ganz andere lösung^^

11.05.2014, 00:34

mYthos

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Deine Lösung stimmt so nicht ganz.
Denn bei x < 1 könnte z.B. x auch -1/2 sein, und das wäre keine Lösung der Ungleichung.
Und warum schreibst du nicht 1 anstatt der Wurzel?
__________

Du kommst also um eine Fallunterscheidung nicht herum, und dabei musst du

0 < x < 1 oder x < -1 erhalten.
__________

Und die Ungleichung x² < 1 kann nach Umformung zu

x² - 1 < 0

(x + 1)(x - 1) < 0

ebenfalls mittels Fallunterscheidung behandelt werden.
Dabei ergibt sich tatsächlich eine von der Lösung der ersten Ungleichung abweichende Lösungsmenge. Welche?

Alternative: Aus x² < 1 folgt |x| < 1 und da "sieht" man bereits die Lösung ...

mY+

14.05.2014, 15:56

akamanston

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wieoso kommen da aber zwei unterschiedliche ergebnisse heraus, obwohl es nur äquivalent umgeformt ist?

woher weiß ich, auf welches ergebnis der aufgabensteller hinaus möchte?

14.05.2014, 16:12

HAL 9000

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Das sind nicht "zwei unterschiedliche Ergebnisse", sondern eine einzige Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ , die auf zwei Intervalle aufgeteilt ist und somit als deren Vereinigung geschrieben werden kann:

$\begin{eqnarray*} L = (-\infty,-1) \cup (0,1) \end{eqnarray*}$

14.05.2014, 16:18

akamanston

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so jetzt bin ich wieder drin.

wir reden aneinander vobei.
ich verstehe das mit den beiden teilmengen ist mittlerweile klar- alles klar.

Zitat:

Original von mYthos
Und die Ungleichung x² < 1 kann nach Umformung zu
x² - 1 < 0
(x + 1)(x - 1) < 0
ebenfalls mittels Fallunterscheidung behandelt werden.
Dabei ergibt sich tatsächlich eine von der Lösung der ersten Ungleichung abweichende Lösungsmenge.

x² - 1 < 0 das ergibt aber was anderes, obwohl es nur äquivalent umgeformt ist.

14.05.2014, 16:28

HAL 9000

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Jede Umformung gilt jeweils nur unter der jeweiligen Fallbedingung:

Im Fall $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} x<\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ umgeformt $\begin{eqnarray*} x^2<1 \end{eqnarray*}$ , d.h. im Bereich $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ stimmen die Lösungsmengen beider Ungleichungen überein - ist ja auch so.

Im Fall $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} x<\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ umgeformt aber $\begin{eqnarray*} x^2>1 \end{eqnarray*}$ - das scheinst du nicht zu beachten?

14.05.2014, 16:33

akamanston

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Zitat:

Original von HAL 9000
Im Fall $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} x<\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ umgeformt aber $\begin{eqnarray*} x^2>1 \end{eqnarray*}$ - das scheinst du nicht zu beachten?

kann ich den fall für x<0 auch so darstellen oder

x<0:
-x< 1/-x

<=> x^2 >1

14.05.2014, 16:42

HAL 9000

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Nein - wie kommst du plötzlich auf -x< 1/-x ???

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