Integration der Standardnormalverteilungsfunktion

11.05.2014, 12:46

Schildhuhn

Integration der Standardnormalverteilungsfunktion

Hallo,

In einem Beweis habe ich folgendes gesehen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty N(x)\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$
wobei N(x)=P{X<x} mit X standartnormalverteilt und ich weiß nicht wie man das berechnen soll(der Autor verweist auch auf nichts) und googlen hat mir auch nichts genützt.

Kann mir jemand dieses Integral erläutern bzw. auf eine Quelle verweisen die das tut?

Liebe Grüße Schildhuhn

11.05.2014, 13:09

HAL 9000

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Das macht so wenig Sinn: Da $\begin{eqnarray*} N(x) \end{eqnarray*}$ als Verteilungsfunktion die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} N(x)=1 \end{eqnarray*}$ hat, ergibt sich zwangsläufig

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} N(x) ~ \dd x = \infty \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Es heißt übrigens Standardnormalverteilung.

11.05.2014, 13:16

Schildhuhn

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Ja das stimmt natürlich, genau geht es um

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty N(\frac{x-bt}{ \sqrt{t} }) exp(-2bx)\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty N(\frac{-x-bt} { \sqrt{t} })\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

11.05.2014, 13:36

Schildhuhn

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Nachtrag: Vorallem bei dem zweiten habe ich keinen Ansatz. Bei dem ersten versuche ich es grade mit partieller integration.

11.05.2014, 13:37

HAL 9000

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Es ist ja bekanntlich (ich verwende mal das deutlich üblichere $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \Phi(x) = \int\limits_{-\infty}^x \varphi(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{u^2}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Damit ist dann z.B.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} \Phi\left( \frac{-x-bt}{\sqrt{t}} \right) \exp(ax) ~ \dd x = \int\limits_0^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\frac{-x-bt}{\sqrt{t}}} \varphi(u) ~ \dd u ~ \exp(ax) ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{-b\sqrt{t}} \varphi(u) \int\limits_0^{-bt-u\sqrt{t}} \exp(ax) ~ \dd x ~ \dd u \end{eqnarray*}$ ,

letztere Gleichheit resultiert aus Fubini (Vertauschung der Integrationsreihenfolge $\begin{eqnarray*} x \leftrightarrow u \end{eqnarray*}$ ). Dich interessieren nun die beiden Fälle $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a=-2b \end{eqnarray*}$ . Bleiben wir mal beim ersten Fall $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , da ist dann

$\begin{eqnarray*} \ldots = \int\limits_{-\infty}^{-b\sqrt{t}} (-bt-u\sqrt{t}) \varphi(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ ,

was man nun unter Benutzung von $\begin{eqnarray*} \int \varphi(u) ~ \dd u = \Phi(u) + C \end{eqnarray*}$ einerseits sowie dem unbestimmten Integral

$\begin{eqnarray*} \int u\varphi(u) ~ \dd u = -\varphi(u) + C \end{eqnarray*}$

andererseits berechnen kann.

Im anderen Fall $\begin{eqnarray*} a=-2b \end{eqnarray*}$ (bzw. überhaupt $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ ) wirds ein wenig komplizierter mit dem Termen, aber inhaltlich wird nichts wesentlich anderes zur Integration benötigz.

Zitat:

Original von Schildhuhn
Bei dem ersten versuche ich es grade mit partieller integration.

Das ist ebenfalls möglich, ja, unter Benutzung von $\begin{eqnarray*} \Phi'(x) = \varphi(x) \end{eqnarray*}$ .

11.05.2014, 14:17

Schildhuhn

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Okay, sehr schöne Lösung .

Vielen Dank

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