Beweis, dass kein Erzeugendensystem vorliegt.

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Baristoteles Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass kein Erzeugendensystem vorliegt.
Meine Frage:
Es seien die folgenden Vektoren aus \mathbb R^{4} gegeben:
v1=(1, 2, 0, 1) v2=(0, 1, 2, -1), v3=(2, 3, -2, 3), v4=(2, 3, -2, -3)
1. Zeigen Sie, dass die Menge {v1, v2, v3, v4} kein Erzeugendensystem von \mathbb R^{4} ist.
2. Ergänzen sie Die Menge {v1, v2, v4} zu einem Erzeugendensystem.
3. Ist {v1,v2} ein Erz.s. von L(v2, v3)
4. Zeigen Sie, dass L(v3, v4) ein Untervektorraum von L(v1, v2, v4) ist. Ist L(v4) ein UVR von L(v1, v3)?



Meine Ideen:
Hallo,

1.

also ich weiß, dass ein Erz.s. jeden Vektor aus dem gegebenen VR als Linearkombination darstellen kann.

Demnach wäre zu zeigen, dass die Linearkombination
a v1+ b v2 + c v3 + d v4 ungleich einem beliebigen Vektor des \mathbb R^{4} ist.
Wenn ich jetzt aber die Vektoren in die Gleichung einsetze, habe ich ein riesiges LGS, das natürlich nicht zu lösen ist, aber wie bringe ich das ersichtlich auf Papier?
Bspw. mit dem Vektor (1, 1, 1, 1):
a+2c+2d=1
2a+b+3c+3d=1
2b-2c-2d=1
a-b+3c-3d=1

2.
dazu habe ich leider keinen Ansatz, wieder ein LGS vielleicht mit einem variablen 4. Vektor

3. und 4.
müsste ich hinkriegen

Danke im Voraus!
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

1) Überprüfe doch mal, ob die Vektoren linear abhängig sind.
2) Hier brauchst du nur einen Vektor finden, der sich nicht als Linearkombination darstellen lässt.
Etwa mit der Determinante, falls du das schon nutzen darfst.
Baristoteles Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die Antwort!
ich dachte lineare Abhängigkeit spielt erst eine rolle wenn man von Basen spricht?
ein erzeugendensystem kann doch linear abhängig oder unabhängig sein oder nicht?

bei dieser Aufgabe darf ich leider noch keine Determinante benutzen
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber wenn sie linear abhängig sind, können sie schonmal keine Basis des bilden; dann können sie auch kein Erzeugendensystem bilden.
Baristoteles Auf diesen Beitrag antworten »

da komme ich jetzt nicht mit.

die Vektoren (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1) sind doch auch linear abhängig aber bilden trotzdem ein erzeugendensystem?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, im .
Für eine Basis gilt: ist maximal linear unabhängige Teilmenge und ist minimales Erzeugendensystem.

EDIT: Du weißt natürlich, dass eine Basis des ist, also weißt du, dass eine maximal linear unabhängige Teilmenge vier Elemente enthält.
 
 
Baristoteles Auf diesen Beitrag antworten »

ahhh verstehe, aufgrund der Elemente die in der menge enthalten sind also.
demnach wäre die aussage bewiesen, wenn ich die linearkombination gleich null setze, und zeige, dass a=b=c=d=0 gilt?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, wenn du zeigst, dass die Vektoren linear abhängig sind, dann können sie keine Basis des bilden und somit sind sie kein Erzeugendensystem.
baristoteles Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank!
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wink
baristoteles Auf diesen Beitrag antworten »

ich komme nun auf kein konkretes Ergebnis das zeigt dass alle Koeffizienten null sein müssen, reicht es, wenn man als Begründung hinschreibt: keine eindeutige Lösung?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@bijektion
Nur eine kleine Anmerkung:
Vielleicht hättest du darauf abheben sollen, dass deine Argumentation darauf beruht, dass es 4 Vektoren im 4-dimensionalen Raum sind. Wenn es 5 Vektoren wären, dann könnten diese sehr wohl ein Erzeugendensystem bilden, obwohl sie (in einem 4-dimensionalen Raum auf alle Fälle) linear abhängig sind. Vier Vektoren müssen aber eine Basis bilden, d.h. linear unabhängig sein, um ein Erzeugendensystem zu sein.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung
Du hast vermutlich recht RavenOnJ, ich editiere nochmal und füge es als Hinweis hinzu.
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