UMVU Schätzer bestimmen

11.05.2014, 15:20

steviehawk

UMVU Schätzer bestimmen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen.

In einer Stadt existieren Taxis, die von 1 bis $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ durchnummeriert sind. Auf Basis der Beobachtung $\begin{eqnarray*} (x_1,\dots,x_n) \end{eqnarray*}$ soll die Anzahl $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ der Taxis in der Stadt geschätzt werden.

Meine Ideen:
Wir hatten schon ein Mal diese Aufgabe in der Vorlesung als beispiel, damals hatten wir durch die Momentenmethode den Schätzer $\begin{eqnarray*} 2 \overline X - 1 \end{eqnarray*}$ bestimmt, der ja in der Anwendung recht wenig Sinn macht. Ich nehme mal, deshalb sollen wir nun den UMVU Schätzer bestimmen.

Was muss ich denn dafür tun?
Also ich weiß, dass ich eine diskrte Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} [1,\theta] \end{eqnarray*}$ habe. Wie sehen denn nun die Schritte aus?

Danke für die Hilfe

EDIT: Wenn ich zwei Schätzer habe, dann kann ich doch mit dem Satz von Lehmann Scheffe, den UMVU Schätzer bestimmen..

$\begin{eqnarray*} T(X) = \max \{x_1,\dots,x_n\} \end{eqnarray*}$ ML Schätzer suff + vollständig und
$\begin{eqnarray*} S(X) = 2 \overline X -1 \end{eqnarray*}$ aus Momentenmethode

dann ist der UMVUE Schätzer:

$\begin{eqnarray*} T^*(X) = \mathbb E (S(X)|T(X) ) \end{eqnarray*}$

und wie berechne ich nochmals $\begin{eqnarray*} \mathbb E (S(X)|T(X) ) \end{eqnarray*}$ verwirrt

11.05.2014, 15:38

HAL 9000

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Die Wahrscheinlichkeit einer konkreten Beobachtung $\begin{eqnarray*} (x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ (ich nehme mal an, dass die der Stichprobenbedingung genügen soll) ist mit passenden Indikatorfunktionen geschrieben

$\begin{eqnarray*} p_{\theta}(x_1,\ldots,x_n) = \frac{1}{\theta^n} \cdot 1_{[1,\theta]}(x_1)\cdot \ldots \cdot 1_{[1,\theta]}(x_n) = \frac{1}{\theta^n} \cdot 1_{[1,\theta]}\left( \max\limits_{i=1,\ldots,n} x_i \right) \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} \max\limits_{i=1,\ldots,n} x_i \end{eqnarray*}$ ist suffizient für den vorliegende Verteilungstyp. Hilft dir das schon mal weiter?

11.05.2014, 15:42

steviehawk

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hast du mein edit schon gesehen?

11.05.2014, 15:49

HAL 9000

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Naja, dann bestimme doch den bedingten Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(S(X) \bigm| T(X)) \end{eqnarray*}$ im vorliegenden Fall. Als Meilenstein dahin wäre die Bestimmung von

$\begin{eqnarray*} P(X_i = k \bigm| \max\{X_1,\ldots,X_n\}) = m) \end{eqnarray*}$

anzusehen (i=1 genügt exemplarisch) - alles hübsch diskret, d.h. diese bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich mit der klassischen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit angehen.

11.05.2014, 16:02

steviehawk

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mhh also ich bin schon bisschen aus der Übung.

Ich habe nun:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(S(X)|T(X)) = \mathbb E (2 \overline X -1 = k | \max \{x_1, \dots, x_n \} = m) = \sum_k k \cdot \mathbb P (2 \overline X -1 = k | \max \{ x_1, \dots, x_n \} = m) = \sum_k \mathbb P(2 \overline X -1 = k , \max \{ x_1, \dots, x_n \} = m) \cdot \frac{1}{\mathbb P( \max \{ x_1, \dots, x_n \} = m)} \end{eqnarray*}$

wo brauche ich die von dir angegebene Wahrscheinlichkeit?

11.05.2014, 16:11

HAL 9000

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Naja, ich nenne die mal abgekürzt $\begin{eqnarray*} q(k,m) \end{eqnarray*}$ (denn sie hängt ja nicht wirklich von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ab, was aus Symmetriegründen klar sein sollte). Es folgt

$\begin{eqnarray*} E(X_i \bigm| \max\{X_1,\ldots,X_n\}) = m) = \sum_{k=1}^m k\cdot q(k,m) =: y_m \end{eqnarray*}$

und dann über Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ auch unmittelbar

$\begin{eqnarray*} E(\bar{X} \bigm| \max\{X_1,\ldots,X_n\}) = m) = y_m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(2\bar{X}-1 \bigm| \max\{X_1,\ldots,X_n\}) = m) = 2y_m-1 \end{eqnarray*}$ .

Zumindest meiner Meinung nach ist $\begin{eqnarray*} q(k,m) \end{eqnarray*}$ erheblich einfacher zugänglich als dein $\begin{eqnarray*} P(2\bar{X} -1 = k , \max \{ x_1, \dots, x_n \} = m) \end{eqnarray*}$ - aber ich höre mir gern deine Argumente für die gegenteilige Meinung an. smile

EDIT: p(k,m) durch q(k,m) ersetzt, wegen Symbolkonflikt.

11.05.2014, 16:33

steviehawk

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ah ich vergaß, dass auch der bedingte Erwwartungwert linear ist, dann hat man es ja..
schonmal danke dafür..

jetzt stehe ich dennoch vor dem Meilenstein den du erwähnt hast..

Ich muss jetzt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^m \frac{k \mathbb P (X_i = k, \max \{x_1,\dots,x_n \}=m)}{\mathbb P (\max \{x_1,\dots,x_n \}= m)} \end{eqnarray*}$

natürlich weiß ich jetzt nicht, wie das max einer Gleichverteilung verteilt ist und für die obige wahrscheinlichkeite, schaue ich ob das k kleiner oder größer ist als das m oder? wenn m kleiner ist als das k, dann gibt der Zähler ja null, denn unter der Bedingung, dass das Maximum m ist kann ja nichts mehr größeres vorhanden sein. Und wenn k kleiner gleich m ist, dann habe ich im Zähler 1/n oder?

Die Summe läuft ja nur bis m, also kann ich den Fall, dass k größer ist vergessen..

11.05.2014, 16:38

HAL 9000

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Fangen wir mit dem Nenner an:

$\begin{eqnarray*} P(\max\{X_1,\ldots,X_n\}) = m) = P(\max\{X_1,\ldots,X_n\}) \leq m) - P(\max\{X_1,\ldots,X_n\}) \leq m-1) = \frac{m^n-(m-1)^n}{\theta^n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m=1,\ldots,\theta \end{eqnarray*}$ .

Im Zähler kann man diesen Trick (soweit man das so nennen kann) auch in adaptierter Weise nutzen, man muss dort aber die Fälle $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq m-1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} k=m \end{eqnarray*}$ in der Rechnung unterscheiden - zwischen beiden gibt es deutliche Unterschiede.

11.05.2014, 16:58

steviehawk

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okay, dass kann ich nachvollziehen, ich habe nun versucht dies auch oben anzuwenden. Ich schaue mir mal folgendes an:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X_i = k| max{X_1,\dots,X_n} = m) = \mathbb P(X_i = k| max{X_1,\dots,X_n} \leq m) - \mathbb P(X_i = k| max{X_1,\dots,X_n} \leq m-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\mathbb P(X_i = k, max \leq m) }{\frac{m^n}{\theta^n}} - \frac{\mathbb P(X_i = k, max \leq m-1) }{\frac{(m-1)^n}{\theta^n}} \end{eqnarray*}$

Fall k=m , dann ist das hintere ja Null also $\begin{eqnarray*} = \frac{\mathbb P(X_i = m, max \leq m)}{\frac{m^n}{\theta^n}} = \frac{(1/\theta)}{\frac{m^n}{\theta^n}} \end{eqnarray*}$

stimmt der Fall?

EDIT n durch Theta ersetzt, aber das scheint eh falsch zu sein, ich darf das hier doch nicht einfach ohne die Summe betrachten oder?

Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^m k ( \mathbb P{X_i = k, max X_i = m} )= \sum_{k=1}^{m-1} k (\mathbb P{X_i = k, max X_i = m}) + m \mathbb P(X_i = m, max X_i = m) \end{eqnarray*}$

11.05.2014, 17:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X_i = k| max{X_1,\dots,X_n} = m) = \mathbb P(X_i = k| max{X_1,\dots,X_n} \leq m) - \mathbb P(X_i = k| max{X_1,\dots,X_n} \leq m-1) \end{eqnarray*}$

Das tränen mir die Augen, was du da mit der Bedingung (!!!) anstellst - streich das bitte ganz schnell. Eine solche Rechnung ist durch nichts, aber auch gar nichts gedeckt. traurig

11.05.2014, 17:23

steviehawk

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schonmal gut zu wissen, und so wie ich es im neuen Versuch gemacht habe, ist das erlaubt? Dort habe ich ja:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^m k \mathbb P(X_i = k, max\{X_1, \dots, X_n \} = m) = <br /> \sum_{k=1}^{m-1} k \mathbb P(X_i = k, max\{X_1, \dots, X_n \} = m) + m \mathbb P(X_i = k, max\{X_1, \dots, X_n \} = m) = \dots \end{eqnarray*}$

im hinteren Teil, also bei $\begin{eqnarray*} + m \mathbb P(X_i = k, max\{X_1, \dots, X_n \} = m) \end{eqnarray*}$ gilt doch:

$\begin{eqnarray*} + m \mathbb P(X_i = k, max\{X_1, \dots, X_n \} = m) = \frac{m^{n+1}}{\theta^n} \end{eqnarray*}$ , denn die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges X_1 den Wert m des Maximus annimmt ist ja gleich, wie die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum eben m ist. Also erhalte ich da $\begin{eqnarray*} \frac{m^{n+1}}{\theta^n} \end{eqnarray*}$

fehlt nur noch der vordere Teil

11.05.2014, 17:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^m k ( \mathbb P{X_i = k, max X_i = m} )= \sum_{k=1}^{m-1} k (\mathbb P{X_i = k, max X_i = m}) + m \mathbb P(X_i = m, max X_i = m) \end{eqnarray*}$

Naja, das ist ja nur die Erwartungswertformel (ohne Nenner) unter Berücksichtigung dessen, dass für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nur Werte $\begin{eqnarray*} \leq m \end{eqnarray*}$ sinnvoll sind (also außerhalb Wkt gleich Null), soweit ist das richtig, ja. Freude

11.05.2014, 17:35

steviehawk

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habe es nochmal editiert

11.05.2014, 17:37

HAL 9000

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Der Rest ist mir zu chaotisch, durch dein ständiges sofortiges Einsetzen in die Erwartungswertformel. Vielleicht führe ich dich ja mit meiner obigen Betonung des Meilensteins an einer zu engen Leine, aber ich will mit dieser klaren Linie eben gerade diese Formelexzesse verhindern.

Daher mal klar und deutlich: Wie lauten deine Resultate, oder zumindest Vorüberlegungen für die genannten Fälle

a) $\begin{eqnarray*} p(k,m) := P(X_1=k,\; \max\{X_1,\ldots,X_n\} = m) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq m-1 \end{eqnarray*}$ ,

b) $\begin{eqnarray*} p(m,m) := P(X_1=m,\; \max\{X_1,\ldots,X_n\} = m) \end{eqnarray*}$ .

11.05.2014, 17:42

steviehawk

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Es gilt:

a) das weiß ich nicht, aber ich würde sagen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\theta} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \frac{m^n}{\theta^n} \end{eqnarray*}$

11.05.2014, 17:47

HAL 9000

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Nein, das stimmt leider nicht.

b) Wir wissen: $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ nimmt bereits das Maximum $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ an, es muss also von keinem weiteren der Werte $\begin{eqnarray*} X_2,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ angenommen werden. Folglich gilt

$\begin{eqnarray*} p(m,m) = P(X_1=m,X_2\leq m,X_3\leq m,\ldots,X_n\leq m) = \frac{1}{\theta}\cdot \left( \frac{m}{\theta} \right)^{n-1} = \frac{m^{n-1}}{\theta^n} \end{eqnarray*}$

und das für alle $\begin{eqnarray*} m=1,\ldots,\theta \end{eqnarray*}$ .

11.05.2014, 17:50

steviehawk

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das letzte gleichheitszeichen gilt, weil die alle unabhängig sind oder? Kannst du mir bei der a) noch helfen? Vielen Dank für deine Engelsgeduld

11.05.2014, 18:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
das letzte gleichheitszeichen gilt, weil die alle unabhängig sind oder?

Ja.

a) Wir wissen: $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ nimmt das Maximum $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nicht an, es muss also von einem der Werte $\begin{eqnarray*} X_2,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ angenommen werden. Folglich gilt hier

$\begin{eqnarray*} p(k,m) &=& P(X_1=k,\max\{X_2,\ldots,X_n\} = m) = P(X_1=k)\cdot P(\max\{X_2,\ldots,X_n\} = m)\\ &=& \frac{1}{\theta}\cdot \frac{m^{n-1}-(m-1)^{n-1}}{\theta^{n-1}} = \frac{m^{n-1}-(m-1)^{n-1}}{\theta^n} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq m-1 \end{eqnarray*}$ , basierend auf derselben Überlegung für das Maximum, aber diesmal nur über $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Werte.

11.05.2014, 18:06

steviehawk

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gut, dass kann ich auch nachvollziehen. Jetzt hast du aber die Summe ja ganz aussen vor gelassen. Was passiert mit der noch?

11.05.2014, 18:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
Jetzt hast du aber die Summe ja ganz aussen vor gelassen.

Ist doch immer wieder toll, wie einem mit solchen Formulierungen Fehler bzw. Auslassungen untergeschoben werden. Ich habe genau das berechnet, was ich auch gesagt habe - nicht mehr und nicht weniger. böse

Vollziehe den Thread nach, und du siehst, was noch zu tun ist. Die Strategie steht seit 16:11 unverändert da.

EDIT: Uupps, jetzt hast du mich durch den extrem langsamen Ablauf hier im Thread noch völlig durcheinandergebracht - es ist natürlich noch durch den Nenner $\begin{eqnarray*} \frac{m^n-(m-1)^n}{\theta^n} \end{eqnarray*}$ zu teilen. Ich korrigiere das mal ganz oben.

Wir haben also zusammenfassend:

$\begin{eqnarray*} p(k,m) = \begin{cases} \displaystyle \frac{m^{n-1}-(m-1)^{n-1}}{\theta^n} & \;\mbox{für}\; k=1,\ldots,m-1 \\[2ex] \displaystyle \frac{m^{n-1}}{\theta^n} & \;\mbox{für}\; k=m \\[2ex] 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

sowie nach Division durch den Nenner

$\begin{eqnarray*} q(k,m) = \begin{cases} \displaystyle \frac{m^{n-1}-(m-1)^{n-1}}{m^n-(m-1)^n} & \;\mbox{für}\; k=1,\ldots,m-1 \\[2ex] \displaystyle \frac{m^{n-1}}{m^n-(m-1)^n} & \;\mbox{für}\; k=m \\[2ex] 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

11.05.2014, 18:28

steviehawk

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also ich bin es nochmal durchgegangen und habe nun mit dem vom Anfange erhalten, im Grunde haben wir die ganze Zeit nur $\begin{eqnarray*} y_m \end{eqnarray*}$ bestimmt, so wie ich das verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} 2y_m -1 = 2 \frac{m^{n-1} -(m-1)^{n-1} + m^n}{m^n-(m-1)^n} -1 \end{eqnarray*}$ ist das mein Schätzer?

EDIT: gerade mal was eingesetzt, das macht kein Sinn..

11.05.2014, 18:33

HAL 9000

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Irgendwas fehlt da, da ich aber keine Zwischenergebnisse sehe, kann ich nicht sagen, woran das jetzt wieder liegt.

Ich komme jedenfalls auf letztendlich

$\begin{eqnarray*} 2y_m-1 = \frac{m^{n+1}-(m-1)^{n+1}}{m^n-(m-1)^n} = m + \frac{(m-1)^n}{m^n-(m-1)^n} \end{eqnarray*}$ ,

letzteres nur um zu sehen, dass dieser $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ -Schätzer auch wirklich $\begin{eqnarray*} \geq m \end{eqnarray*}$ ist, was ja nach GMV zu erwarten ist.

11.05.2014, 18:42

steviehawk

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okay, dann schaue ich gleich nochmal, eines war mir noch nicht ganz klar, gerade beim noch mal durchgehen:

Warum gilt wegen: $\begin{eqnarray*} \overline X = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ , dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(\overline X | \max \{X_1, \dots, X_n\} = m) = \mathbb E( X_i | \max \{X_1, \dots, X_n\} = m) \end{eqnarray*}$ ?

Es müsste doch dann noch 1/n und die Summe davor stehen.

11.05.2014, 18:46

HAL 9000

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Es ist völlig egal, ob bedingt oder nicht - der Erwartungswert ist linear:

$\begin{eqnarray*} E(\bar{X} \bigm| A) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i \bigm| A) \end{eqnarray*}$

Und da bei dieser speziellen Bedingung hier der Summand für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gleich groß ist, stimmt eben

$\begin{eqnarray*} E(\bar{X} \bigm| A) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot E(X_1 \bigm| A) = E(X_1 \bigm| A) \end{eqnarray*}$ .

11.05.2014, 18:59

steviehawk

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alles klar! Um es vollständig zu machen, versuche ich noch die Rechnung zu posten.

Also: $\begin{eqnarray*} 2y_m -1 = 2 \sum_{k=1}^m k \mathbb P(X_i = k | \max_{i=1,\dots,n} X_i = m ) -1 = \frac{2}{\frac{m^n - (m-1)^n}{\theta^n}} \sum_{k=1}^m k \mathbb P(X_i = k , \max_{i=1,\dots,n} X_i = m ) -1 = \\ \frac{2}{\frac{m^n - (m-1)^n}{\theta^n}} \big{[} \sum_{k=1}^{m-1} k \mathbb P(X_i = k | \max_{i=1,\dots,n} X_i = m ) + m\mathbb P(X_i = m | \max_{i=1,\dots,n} X_i = m ) \big{]} -1 = \\ \frac{2}{\frac{m^n - (m-1)^n}{\theta^n}} \big{[} \sum_{k=1}^{m-1} k \frac{m^{n-1} -(m-1)^{}n-1}{\theta^n} + m \cdot \frac{m^{n-1}}{\theta^n} \big{]} -1= \\ \frac{2}{\frac{m^n - (m-1)^n}{\theta^n}} \big{[} \frac{m^{n-1} -(m-1)^{n-1}}{\theta^n} \sum_{k=1}^{m-1} k + \frac{m^n}{\theta^n} \big{]} -1 \end{eqnarray*}$

stimmt es bis hier? als nächstes für die Summe den kleinen Gauss und dann zusammen fassen?

11.05.2014, 19:20

HAL 9000

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Ja, so ist es.

11.05.2014, 19:40

steviehawk

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bist du sicher? Ich bekomm es nicht hin, das so umzuformen, dass ich das gleiche habe wie du unglücklich

11.05.2014, 19:42

HAL 9000

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Welchen Term hast du denn raus? Die Umformungen von einer in die andere Form sind hier manchmal nicht sehr deutlich zu erkennen.

11.05.2014, 20:01

steviehawk

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Ich habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{m^{n+1} - (m-1)^nm + (m-1)^n}{m^n - (m-1)^n} \end{eqnarray*}$

laut wolfram alpha das gleiche wie du hast, aber ich seh nicht, wie ich den Zähler umformen kann

11.05.2014, 20:09

HAL 9000

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Das ist dasselbe: Es ist ja im Mittelterm $\begin{eqnarray*} -(m-1)^nm = -(m-1)^n((m-1)+1) = -(m-1)^{n+1} - (m-1)^n \end{eqnarray*}$ .

Wie ich schon sagte - manchmal schwer erkennbar. Augenzwinkern

13.05.2014, 20:49

steviehawk

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Hallo HAL 9000,

ich habe noch eine Frage zur Vollständigkeit von meinem $\begin{eqnarray*} T(X) \end{eqnarray*}$ . Die Suffizient folgt ja aus dem Faktoriesierungssatz und auch die erwartungstreue/Unverzerrtheit von S(X) konnte ich zeigen, aber bei der Vollständigkeit habe ich noch Probleme. Ich versuche es mal:

Also ich nehme mir eine messbare Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , für die nun gelten soll:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(g(T(X))) = 0 \ \forall \theta \end{eqnarray*}$ nun muss ich folgern, dass $\begin{eqnarray*} g((T(X)) = 0 \ \mathbb P - fs \end{eqnarray*}$ ist.

Also sei nun g messbar, dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(g(T(X))) = ??? \end{eqnarray*}$

ich muss ja jetzt die Verteilung wissen, von $\begin{eqnarray*} g(T(X)) \end{eqnarray*}$ um den $\begin{eqnarray*} \mathbb E \end{eqnarray*}$ Wert zu bestimmen, aber woher weiß ich die?

Danke

EDIT: Das Maximum ist doch immer mit hoch n verteilt oder? Also hätte ich dann:

$\begin{eqnarray*} T(X) \sim U\{1,..,\theta\} \end{eqnarray*}$ bei meinem Taxiproblem bin ich ja im diskreten Fall. Mit einer beliebigen messbaren Funktion erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E (g(T(X))) = \sum_{i=1}^n g(i) \cdot \frac{1}{\theta^n} = 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss aber wohl $\begin{eqnarray*} g(i) = 0 \end{eqnarray*}$ gelten und zwar $\begin{eqnarray*} \mathbb P -fs \end{eqnarray*}$ verwirrt

so irgendwie?

in den Beispielen, die ich gesehen habe verwendet man immer den Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen, aber hier habe ich ja keine Potenzreihe, oder habe ich es einfach nur falsch verwirrt

13.05.2014, 21:58

HAL 9000

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Ich hab keine Ahnung, worauf du in diesem Beitrag hinauswillst. Vielleicht deswegen, weil ich das meiste zu dem Thema vergessen habe.

13.05.2014, 22:04

steviehawk

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Hallo HAL 9000,

also im Satz von Lehmann Scheffe, sind ja gewisse Voraussetzungen gegeben. An die Statistik $\begin{eqnarray*} T(X) \end{eqnarray*}$ werden die Vorraussetzungen: suffizient + vollständig gestellt.

Vollständigkeit bedeutet: http://de.wikipedia.org/wiki/Vollständigkeit_(Statistik)

Diese wollte ich jetzt noch zeigen..

14.05.2014, 08:19

HAL 9000

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Ehrlich gesagt, hat mir der Satz von Lehmann-Scheffé vor diesem Thread nichts gesagt. Ich hatte nur den in derselben Thematik angesiedelten Satz von Rao-Blackwell in Erinnerung, und dort ist keine Rede von dieser Vollständigkeit - sicher deshalb, weil die Satzaussage ja auch etwas anders ist. verwirrt

Die Definition der Vollständigkeit mit diesen allgemeinen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ entzieht sich irgendwie einer praktischen Überprüfung im konkreten Fall - außer im Negativfall durch Angabe eines Gegenbeispiels. Da muss es doch auch zumindest hinreichende Bedingungen für den Positivfall geben, die man einigermaßen anwenden kann? Ich kenne leider bisher keine.

EDIT: Ok, man muss sich nur mal ein paar Beispiele ansehen, dann hat man eine Ahnung, wie es laufen könnte.

Wir betrachten also $\begin{eqnarray*} T(X) = \max\{X_1,\ldots,X_n\} \end{eqnarray*}$ im Falle der diskreten Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} \{1,2,\ldots,\vartheta\} \end{eqnarray*}$ .

Dann hatten wir ja bereits festgestellt

$\begin{eqnarray*} P(T(X)=t) = \frac{t^n-(t-1)^n}{\vartheta^n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t=1,\ldots,\vartheta \end{eqnarray*}$ .

Vollständigkeit heißt nun: Für alle messbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E[g(T(X))] = 0 \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} g(T(X))=0 \end{eqnarray*}$ P-f.s. folgen.

Berechnen wir also mal $\begin{eqnarray*} E[g(T(X))] \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E[g(T(X))] = \sum_{t=1}^{\vartheta} g(t) \frac{t^n-(t-1)^n}{\vartheta^n} \end{eqnarray*}$ .

Das soll also Null sein für alle $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ . Damit kann man per vollständiger Induktion $\begin{eqnarray*} g(k)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ nachweisen, indem man im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} (k-1)\to k \end{eqnarray*}$ die Vollständigkeitsvoraussetzung für $\begin{eqnarray*} \vartheta=k \end{eqnarray*}$ nutzt.

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