Periodische Funktion "gleichrichten"

11.05.2014, 13:57

moclus

Periodische Funktion "gleichrichten"

Ich hab ein Problem mit Funktionen dieser Art:

$\begin{eqnarray*} x(t)= 100 + \sqrt{2}\cdot 200 \cdot \cos(\frac{2 \pi}{T} t) + \sqrt{2} \cdot 300 \cdot \cos(3 \cdot \frac{2 \pi}{T} t) \end{eqnarray*}$

Es handelt sich um eine Mischspannung: Gleich- und Wechselspannung. Ich möchte nun den Gleichrichtwert bilden, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T} \int_0^T \! |\ x(t)|\ \, dt \end{eqnarray*}$

Damit das Integral mir nicht nur die 100 liefert, nehm ich den Betrag aus allen Integranden. Doch auch die liefern mir in diesem Fall 0 wenn ich das Integral bilde ... ich hab einen heftigen Denkfehler verwirrt

Wenn ich T/4 nehme als obere Grenze, brauch ich den Betrag nicht mehr. Das versteh ich, weil die Funktion dann erstmal nur 90° zurücklegt. Aber wenn ich die gesamte Periode nehme und den Betrag, dann "klapp" ich doch die gesamte Schwingung hoch, sodass da nicht 0 rauskommen dürfte.

Wo liegt mein Fehler?

11.05.2014, 14:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von moclus
ich hab einen heftigen Denkfehler verwirrt

In Anbetracht der von dir nicht angeführten konkreten Rechnung, aber aus Erfahrung ähnlicher Fälle hier im Board vermute ich mal folgendes:

Aus Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \int f(t) ~ \dd t = F(t) \end{eqnarray*}$ hast du auf forsch auf $\begin{eqnarray*} \int |f(t)| ~ \dd t = |F(t)| \end{eqnarray*}$ geschlossen?

Falls dem so ist: Großer Fehler, das stimmt überhaupt nicht. unglücklich

Du musst das Integrationsgebiet in passende Intervalle zerlegen und dort dann jeweils den Betrag "sauber" auflösen.

11.05.2014, 14:27

moclus

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Oh ...
verdammt. Ja, das hab ich getan unglücklich

Wäre das für solch eine Funktion nicht sehr aufwendig? verwirrt

Also das mit den passenden Intervallen ..

11.05.2014, 14:34

HAL 9000

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Na zunächst mal kannst du ja $\begin{eqnarray*} \tau = \frac{2\pi}{T} t \end{eqnarray*}$ substituieren, dann folgt $\begin{eqnarray*} \dd\tau = \frac{2\pi}{T} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T} \int\limits_0^T |x(t)| ~ \dd t = \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \left| x\left(\frac{T}{2\pi} \tau \right) \right| ~ \dd t = \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \left| 100 + 200\sqrt{2} \cos(\tau) + 300\sqrt{2}\cos(3\tau) \right| ~ \dd \tau \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt also "frei" von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , und du kannst den Integranden (zunächst ohne Betrag) ja mal plotten und schauen, wo dessen Nullstellen sind, vielleicht bestimmst du sie ja auch exakt.

11.05.2014, 14:43

moclus

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Darauf wäre ich nicht gekommen... verwirrt

Ein anderer Ansatz wäre ja, dem Integral eine bestimmte Periode zu verpassen. Kann ich denn jede beliebige Periode auswählen? Die periodische Gestalt einer Funktion wird ja erst ersichtlich, wenn sie die Ruhelage durchläuft oder?

11.05.2014, 14:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von moclus
Darauf wäre ich nicht gekommen...

Worauf? Bisher ist ja fast nix passiert, die Substitution habe ich nur gemacht, damit das ganze mathematisch einfacher behandelbar ist und der Einfluss von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ eliminiert ist.

11.05.2014, 14:51

moclus

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Genau den Schritt meinte ich. An Nullstellen hätte ich erst gar nicht gedacht. Mir wird jetzt auch bewusst, dass ich niemals ein Integral so behandelt habe.

Nun, bevor ich deinen Schritt weiterverfolge, hab ich eine Frage zu der Periode.
Kann ich jede beliebige Periode bis T einsetzen um den Integranden ohne Betrag zu berechnen? Also T / 2 T / 4 ...

11.05.2014, 14:57

HAL 9000

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Wo willst du was einsetzen? Ich verstehe diese Frage nicht. unglücklich

11.05.2014, 15:00

moclus

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Ich rechne mal ganz kurz und melde mich gleich nochmal smile

11.05.2014, 17:18

moclus

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So .. ich hab mir mal ein wenig Zeit genommen. Also:

Ich nehme oben mal nur ein Term raus. Nehmen wir an ich will nun diesen Term:

$\begin{eqnarray*} x_1(t)= \sqrt{2} \cdot 200 \cdot cos(\omega t) \end{eqnarray*}$

gleichrichten.

wobei:
$\begin{eqnarray*} \omega = \frac{2 \pi}{T} \end{eqnarray*}$
ist.

Nun das Integral:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T} \int_0^T \! |x_1(t)| \, dt \end{eqnarray*}$
entspricht in diesem Fall auch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T/4} \int_0^{T/4} \! x_1(t) \, dt = \frac{4}{T} \int_0^{\frac{T}{4}} \! x_1(t) \, dt = \frac{4}{T} \cdot \sqrt{2}\cdot 200 \left[\frac{1}{\omega} \cdot \sin(\omega t) \right]_{0}^{\frac{T}{4}} \end{eqnarray*}$

Nun substituier ich die Grenzen mit $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ und setze für T ein:
$\begin{eqnarray*} \omega = \frac{2 \pi}{T} \Longleftrightarrow T = \frac{2 \pi}{\omega} \end{eqnarray*}$

Dann sieht der Ausdruck wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{\frac{2 \pi}{\omega} } \cdot \sqrt{2} \cdot 200 \left[\frac{1}{\omega} \cdot \sin(\omega t) \right] _{\omega = 0}^{\omega = \frac{\pi}{2}} = \frac{4 \omega}{2 \pi} \cdot \sqrt{2} \cdot 200 \cdot \frac{1}{\omega} \left[\sin(\omega t) \right] _{\omega = 0}^{\omega = \frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi} \cdot \sqrt{2} \cdot 200 \cdot \sin(\frac{\pi}{2} ) = 180 \end{eqnarray*}$

Ich hab die Viertelperiode genommen die 90° entspricht. So meinte ich das vorhin smile

.

Erstmal: Ist das alles richtig?

Dann hab ich noch eine andere Frage, kann ich mit $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \pi \end{eqnarray*}$ oder beliebigen Werten das gleiche machen? Ich bekomme dann immer was falsches raus.

11.05.2014, 18:07

HAL 9000

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Ich kann das nur so deuten, dass du dich am Beispiel dieser einfachen Kosinusfunktion an das Problem herantasten willst? verwirrt

Egal, ich plotte mal den eigentlichen Integranden (ohne Betrag) von oben, d.h. $\begin{eqnarray*} 100 + 200\sqrt{2} \cos(\tau) + 300\sqrt{2}\cos(3\tau) \end{eqnarray*}$ :

Wenn du die unter der Zeitachse liegenden Anteile im Integralwert "hochklappen" willst, benötigst du zwingend die Nullstellen dieser Funktion. Und die sind hier tatsächlich analytisch etwas schwierig zu ermitteln, aber es ist machbar.

11.05.2014, 18:47

moclus

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Mh okay ... dann werd ich mich mal da ransetzen. Aber könnte ich denn nicht die gesamte Funktion auch so behandeln wie oben meine Beispielrechnung? verwirrt

11.05.2014, 18:56

HAL 9000

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Ich denke mal, ich beende das hier - offensichtlich glaubst du fest daran, einen Dünnbrettbohrerweg gehen zu können, obwohl ich das mehrfach verneint habe. Und da ich deinen Glauben daran offenbar nicht erschüttern kann, muss das wohl ein anderer versuchen.

11.05.2014, 19:01

moclus

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Gut, ich mache mich mal dann an die Aufgabe, wie du es wolltest.

Nur die Nullstellen im Bereich von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ sind relevant oder?

12.05.2014, 08:19

HAL 9000

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Ja, nur die sind relevant. Aber man kann es noch weiter einschränken:

Sei nun $\begin{eqnarray*} I:=\int\limits_0^{2\pi} |g(\tau)| ~ \dd\tau \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(\tau) = 100 + 200\sqrt{2} \cos(\tau) + 300\sqrt{2}\cos(3\tau) \end{eqnarray*}$ der zu berechnende Wert. Aufgrund der Symmetrie $\begin{eqnarray*} g(\tau) = g(2\pi-\tau) \end{eqnarray*}$ ist nun einfach $\begin{eqnarray*} I = 2\int\limits_0^{\pi} |g(\tau)| ~ \dd\tau \end{eqnarray*}$ , siehe Skizze oben:

Wir erkennen drei reelle Nullstellen $\begin{eqnarray*} \tau_1 < \tau_2 < \tau_3 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ , und dem Verlauf von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nach ist dabei

a) $\begin{eqnarray*} g(\tau)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq \tau\leq \tau_1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \tau_2\leq \tau\leq \tau_3 \end{eqnarray*}$ , und

b) $\begin{eqnarray*} g(\tau)\leq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \tau_1\leq \tau\leq \tau_2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \tau_3\leq \tau\leq \pi \end{eqnarray*}$

woraus sich dann, den Vorzeichenwechseln folgend ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{I}{2} &=& \int\limits_0^{\pi} |g(\tau)| ~ \dd\tau = \int\limits_0^{\tau_1} g(\tau) ~ \dd\tau ~-~ \int\limits_{\tau_1}^{\tau_2} g(\tau) ~ \dd\tau ~+~ \int\limits_{\tau_2}^{\tau_3} g(\tau) ~ \dd\tau ~-~ \int\limits_{\tau_3}^{\pi} g(\tau) ~ \dd\tau \\<br /> &=& -G(0)+2G(\tau_1)-2G(\tau_2)+2G(\tau_3)-G(\pi)\qquad (1) \end{eqnarray*}$ ,

mit einer passenden Stammfunktion $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , wie etwa $\begin{eqnarray*} G(\tau) = 100\tau+200\sqrt{2}\sin(\tau)+100\sqrt{2}\sin(3\tau) \end{eqnarray*}$ . Der Zusammenhang von Integralwert und Nullstellen sollte damit dann klar sein, oder?

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Nun zur Bestimmung dieser drei Nullstellen $\begin{eqnarray*} \tau_1,\tau_2,\tau_3 \end{eqnarray*}$ , um in (1) auch wirklich "rechnen" zu können. Die Nullstellengleichung $\begin{eqnarray*} g(\tau)=0 \end{eqnarray*}$ durch 100 geteilt ergibt zunächst

$\begin{eqnarray*} 1 + 2\sqrt{2}\cos(\tau) + 3\sqrt{2}\cos(3\tau) = 0\qquad (2) \end{eqnarray*}$ .

Gemäß Additionstheoremen gilt nun

$\begin{eqnarray*} \cos(2\tau+\tau) &=& \cos(2\tau)\cos(\tau)-\sin(2\tau)\sin(\tau) = (\cos^2(\tau)-\sin^2(\tau))\cos(\tau)-2\sin^2(\tau)\cos(\tau)\\ &=& 4\cos^3(\tau)-3\cos(\tau) \end{eqnarray*}$

es folgt für (2) damit dann $\begin{eqnarray*} 1 - 7\sqrt{2}\cos(\tau) + 12\sqrt{2}\cos^3(\tau) = 0 \end{eqnarray*}$ . Mit Substitution $\begin{eqnarray*} u=\sqrt{2}\cos(\tau) \end{eqnarray*}$ (wir sehen gleich, warum) wird daraus die kubische Gleichung $\begin{eqnarray*} 6u^3 - 7u + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Die Lösung $\begin{eqnarray*} u_1=1 \end{eqnarray*}$ kann man erraten, nach Polynomdivision ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 0 = 6u^3-7u+1 = (u-1)(6u^2+6u-1)\qquad (3) \end{eqnarray*}$ .

An der Stelle stoppe ich mal - klar, wie es weitergeht?

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