Beweis zur stochastischen Unabhängigkeit

11.05.2014, 19:27

Aven

Beweis zur stochastischen Unabhängigkeit

Meine Frage:
Hallo,
könnte mir jemand bei folgendem Beweis einen Tipp geben?

Es seien $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathbb P) \end{eqnarray*}$ ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ Ereignisse. Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Es gelte $\begin{eqnarray*} 0<\mathbb P(B) <1 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} \mathbb P(A| B)= \mathbb P(A | B^c) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \mathbb P(A \cap B)=\mathbb P(A) \mathbb P(B) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher, aber ich würde sagen, dass die Behauptung stimmt, jedenfalls fällt mir kein Gegenbeispiel ein.
Es ist klar, dass ? $\begin{eqnarray*} \mathbb P(A \cap B)=\mathbb P(A) \mathbb P(B) \end{eqnarray*}$ die stochastische Unabhängigkeit meint und, dass folgende Umformung gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb P(A|B)=\frac{\mathbb P(A \cap B)}{ \mathbb P(B)} = \frac{\mathbb P(A \cap B^c)}{ \mathbb P(B^c) }= \mathbb P(A|B^c) \end{eqnarray*}$ . Mir fehlt aber noch die entscheidende Idee, wie ich das für den Beweis nutzen kann. Kann mir da jemand helfen?

Gruß Aven

14.05.2014, 13:54

h4mmer

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RE: Beweis zur stochastischen Unabhängigkeit
Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P(A|B)=\frac{\mathbb P(A \cap B)}{ \mathbb P(B)} = \frac{\mathbb P(A \cap B^c)}{ \mathbb P(B^c) }= \mathbb P(A|B^c) \end{eqnarray*}$

Genau.

Also folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathbb P(A \cap B)}{ \mathbb P(B)} = \frac{\mathbb P(A \cap B^c)}{ \mathbb P(B^c) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\mathbb P(A \cap B) = \frac{\mathbb P(A \cap B^c)}{ \mathbb P(B^c) } \cdot \mathbb P(B) \end{eqnarray*}$

Was muss also für $\begin{eqnarray*} \mathbb P(A) \end{eqnarray*}$ gelten, damit $\begin{eqnarray*} \mathbb P(A \cap B)=\mathbb P(A) \mathbb P(B) \end{eqnarray*}$ gilt?

Gruß

16.05.2014, 15:06

Aven

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Hat sich inzwischen geklärt. Danke für die Hilfe!

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