Jordan-Normalform bestimmen

12.05.2014, 08:14	Vazrael	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan-Normalform bestimmen Eine Frage zu dem Verfahren, das man auf Wikipedia findet ( http://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_..._der_Eigenwerte ) sowie einer Aufgabe meinerseits. Ich habe die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 3 \\-1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Der einzige Eigenwert ist 2 mit algebraischer Vielfachheit 3 und geometrischer Vielfachheit 1. Also wählte ich den Eigenvektor $\begin{eqnarray} v_1 = (1, -1, 1) \end{eqnarray}$ . Nun hätte ich gedacht ich muss (nach Wikipedia-Verfahren) $\begin{eqnarray} ker (A- 2E_n)^2 \ (1,-1,1) \end{eqnarray}$ betrachten um den zweiten Basisvektor zu bestimmen. Im Lösungsbuch steht aber: $\begin{eqnarray} (A - 2E_3) \cdot v_2 = (1, -1, 1) \end{eqnarray}$ -> der zweite Vektor is die Lösung und $\begin{eqnarray} (A- 2E_3) \cdot v_3 = v_2 \end{eqnarray}$ -> der dritte Vektor ist die Lösung. Die gesuchte Matrix $\begin{eqnarray} T^{-1} \end{eqnarray}$ hat in ihren Spalten die Vektoren v1, v2 und v3 nacheinander eingeschrieben. Doch laut Wikipedia müsste es so gehen: Bestimme $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ - ganz so wie ich, es handelt sich ja um den Eigenvektor des Eigenraums zu Eigenwert 2. Bestimme $\begin{eqnarray} v_2 \in ker(A- 2E_3)^2 \backslash span(ker(A - 2E_3)^1) \end{eqnarray}$ , d.h. man sucht im zweiten Schritt einen Vektor der nicht vom Eigenvektor aufgespannt wird aber Eigenvektor von $\begin{eqnarray} (A-2E_3)^2 \end{eqnarray}$ ist. Die nachfolgenden Vektoren sollen dann auch so bestimmt werden, dass sie nie von den vorher bestimmten Vektoren aufgespannt werden können.. Wieso kann ich lt. Lösungsbuch den berechneten Vektorn einfach mit der Matrix multiplizieren?

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