Konvergenz einer Folge beweisen?

12.05.2014, 10:30

Schattenklinge

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Konvergenz einer Folge beweisen?

Hallo Community,

folgende Aufgabe erschwert mir gerade das Leben:

$\begin{eqnarray*} a_n =: \frac{(2-n)^2}{2n^2-2} \end{eqnarray*}$

Ich soll von der Folge die Konvergenz beweisen und die Grenzwerte bestimmen.

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to inf} \frac{(2-n)^2}{2n^2-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to inf} \frac{n^2-4n+4}{2n^2-2} \end{eqnarray*}$

Kürzen durch n² führt zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to inf} \frac{1-\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2}}{2-\frac{2}{n^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} frac{4}{n}<br /> frac{4}{n^2}<br /> \frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$

laufen gegen 0. (Nullfolgen)

Also ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Konvergenzbeweis:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Es gibt ein n in N, für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} | a_n - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Da ich den Grenzwert kenne:

$\begin{eqnarray*} | a_n- \frac{1}{2} | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Einsetzen und erweitern folgt zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2-4n+4}{2n^2-2} - \frac{n^2-1}{2(n^2-1)} = \frac{n^2-4n+4-n^2-1}{2n^2-2}<br /> = \frac{-4n-3}{2n^2-2} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter! unglücklich

unglücklich

Könnt ihr mir helfen?

12.05.2014, 10:32

Schattenklinge

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Achso, dazu noch: die Folge gilt für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

12.05.2014, 10:38

bijektion

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Du kannst am Ende noch weiter abschätzen, du suchst ja nicht das kleinste mögliche $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .

D.h. $\begin{eqnarray*} |\frac{-4n-3}{2n^2-2} |< \dots \end{eqnarray*}$ noch weiter nach oben abschätzen.

12.05.2014, 10:42

Schattenklinge

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d.h. nochmals durch n² kürzen?

12.05.2014, 10:45

bijektion

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Nein. Erstmal die Betragsstriche nutzen, denn offenbar ist $\begin{eqnarray*} 2\cdot n^2 -2 >0 \end{eqnarray*}$ ; also gilt $\begin{eqnarray*} |\frac{-4n-3}{2n^2-2} | = \frac{4n+3}{2\cdot n^2 -2} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kannst du entweder den Nenner kleiner oder den Zähler größer machen, und zwar so, das man kürzen kann Freude

Freude

12.05.2014, 10:52

Gurki

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RE: Konvergenz einer Folge beweisen?
Vorsicht bei Vorzeichen und Beträgen!

Zitat:

Original von Schattenklinge
...Einsetzen und erweitern führt zu:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2-4n+4}{2n^2-2} - \frac{n^2-1}{2(n^2+1)}\right| = \left|\frac{n^2-4n+4-n^2+1}{2n^2-2}\right|= \frac{4n-5}{2n^2-2} < \frac 4n,~n\geq 2 \end{eqnarray*}$

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12.05.2014, 11:00

Schattenklinge

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Zitat:

Original von bijektion
Nein. Erstmal die Betragsstriche nutzen, denn offenbar ist $\begin{eqnarray*} 2\cdot n^2 -2 >0 \end{eqnarray*}$ ; also gilt $\begin{eqnarray*} |\frac{-4n-3}{2n^2-2} | = \frac{4n+3}{2\cdot n^2 -2} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kannst du entweder den Nenner kleiner oder den Zähler größer machen, und zwar so, das man kürzen kann Freude

Freude

Die Aussage von Gurki bringt mich gerade durcheinander, kannst du dazu bitte was sagen?
Bezüglich deiner Aussage:

Die Betragsstriche bedeutet doch in diesem Fall, der Abstand voneinander, darf ich hier das einfach so machen?

Wie mach ich den Bruch kleiner?

$\begin{eqnarray*} \frac{4n}{2*n^2-2} + \frac{3}{2*n^2-2} \end{eqnarray*}$

Ich hätte das jetzt so gemacht, aber das hilft mir nicht wirklich weiter, meiner Ansicht nach...
Wie beweise ich denn jetzt, dass es für jedes Epsilon gilt etc...?

12.05.2014, 11:02

Gurki

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Zitat:

Original von Schattenklinge
Die Aussage von Gurki bringt mich gerade durcheinander, kannst du dazu bitte was sagen?

Was genau bringt dich durcheinander?

12.05.2014, 11:13

bijektion

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Du hast dich verrechnet, da hab ich nicht richtig drauf geachtetet.
Es ist
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2-4n+4}{2n^2-2} - \frac{n^2-1}{2(n^2+1)}= \frac{-4n+5}{2n^2-2} \end{eqnarray*}$ , du hast das Vorzeichen falsch verrechnet.
Das ändert aber nicht wirklich was am Lösungsweg.

Dann hast du jetzt $\begin{eqnarray*} |\frac{n^2-4n+4}{2n^2-2} - \frac{n^2-1}{2(n^2+1)}|= |\frac{-4n+5}{2n^2-2} | =\frac{4n-5}{2n^2-2} \end{eqnarray*}$ .
Die Frage wie du abschätzen kannst hat Gurki schon vorweg genommen.

@Gurki: Beachte die Boardregeln.

12.05.2014, 11:21

Gurki

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Zitat:

Original von bijektion
@Gurki: Beachte die Boardregeln.

@bijektion: Bitte verzichte auf unnötige Maßregelungen.

Da der Fehler nun beseitigt ist bin ich jetzt eh raus.

12.05.2014, 11:37

Schattenklinge

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Und wie geht es nun weiter?

12.05.2014, 11:38

bijektion

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Bist du bis $\begin{eqnarray*} \frac{4n-5}{2n^2-2} \end{eqnarray*}$ gekommen?

12.05.2014, 11:43

Schattenklinge

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Mitgekommen, ja, wie es aber weiter geht, weiß ich gerade nicht. Ich muss ja das Epsilon irgendwie integrieren...

12.05.2014, 11:46

bijektion

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Dir ist sich klar das aus $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b<c \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} a<c \end{eqnarray*}$ folgt oder?
Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} a=\frac{4n-5}{2n^2-2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\epsilon \end{eqnarray*}$ setzt, musst du ein geeignetes $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ finden.

12.05.2014, 12:29

Schattenklinge

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Gibt es denn gar keine andere Möglichkeit das zu beweisen außer mit deiner genannten Methode?

Wie finde ich das "b"?

12.05.2014, 12:53

bijektion

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Du willst doch zu $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N_{\epsilon}=N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} \forall n>N_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} \frac{4n-5}{2n^2-2}<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt musst du $\begin{eqnarray*} \frac{4n-5}{2n^2-2} \end{eqnarray*}$ abschätzen: für welchen Ausdruck $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gilt mit Sicherheit immer (also für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} 4 \cdot n -5 <b_n \end{eqnarray*}$ und für welchen Ausdruck $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ gilt immer $\begin{eqnarray*} 2 \cdot n^2 -2 = 2\cdot (n^2-1) >c_n \end{eqnarray*}$ ?

Ich würde etwa $\begin{eqnarray*} b_n=4 \cdot n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n=2 \cdot n \cdot(n-1) \end{eqnarray*}$ wählen.

12.05.2014, 15:31

Schattenklinge

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Ich checks einfach nicht... Entweder steh ich aufm Schlauch oder ich bin blöd und dumm :/

Ich fasse nochmal zusammen:

Wir haben den Grenzwert bestimmt von der Folge, der beträgt 1/2.
Wir haben dann den Abstand von an-a dargestellt als Bruch, indem wir die Folge subtrahiert haben mit 1/2. Dann haben wir 1/2 erweitert mit (n²-1), um gleiche Nenner stehen zu haben, womit wir die beiden Brüche subtrahieren können. Dann haben wir die Betragsstriche weggemacht, schonmal vorweg hier die Frage: Wieso haben wir statt + aufeinmal ein -?

Wir haben dann gesagt es folgt aus a < b < c : a<c
d.h. wir suchen ein b.

Die Folge an ist kleiner als unser b und kleiner als unser c, welches unser Epsilon ist, gut, leuchtet mir komplett ein, aber wie wir das b nun finden, also den Weg dorthin verstehe ich nicht... Wie kommst du ohne weiteres auf 4n?

12.05.2014, 19:35

bijektion

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Ja, soweit alles richtig. Das minus folgt einfach aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} (-1)\cdot (-1)=1 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} |(-1)|=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wie kommst du ohne weiteres auf 4n?

Ganz ehrlich, das macht die Erfahrung. Man erkennt schnell, dass $\begin{eqnarray*} 4n-5<4n \end{eqnarray*}$ , das ist dir bestimmt auch klar.
Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} 2 \cdot (n^2-1)>2\cdot (n^2-n) \end{eqnarray*}$ ist auch leicht einzusehen, und passt auch noch gut.

12.05.2014, 19:59

Schattenklinge

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Und damit ist der Beweis erbracht? Oder fehlt jetzt noch was?

13.05.2014, 07:56

bijektion

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Bis jetzt haben wir ja $\begin{eqnarray*} \frac{4\cdot n-5}{2\cdot (n^2-1)}\leq \frac{4 \cdot n}{2\cdot n \cdot(n-1)}=\frac{2}{n-1} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Jetzt musst du nur noch zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} N_{\varepsilon} =N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} \forall n> N_{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ stets die Ungleichung gilt; aber das ist jetzt leicht, denn
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n-1} < \varepsilon \Leftrightarrow \frac{2}{\varepsilon}<n-1 \end{eqnarray*}$ .

14.05.2014, 07:49

Schattenklinge

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Zitat:

Original von bijektion
Ja, soweit alles richtig. Das minus folgt einfach aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} (-1)\cdot (-1)=1 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} |(-1)|=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wie kommst du ohne weiteres auf 4n?

Ganz ehrlich, das macht die Erfahrung. Man erkennt schnell, dass $\begin{eqnarray*} 4n-5<4n \end{eqnarray*}$ , das ist dir bestimmt auch klar.
Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} 2 \cdot (n^2-1)>2\cdot (n^2-n) \end{eqnarray*}$ ist auch leicht einzusehen, und passt auch noch gut.

#

Hab nochmal eine Frage zur Abschätzung, wählt man da einfach einen geeigneten Wert "4n" oder gibt es da eine Richtlinie? Ich kann ja z.B. auch sagen 4n-5 < 4n-4 oder 4n-5 < 10000n ?
Was steckt da hinter?

14.05.2014, 07:55

bijektion

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Klar, du könntest auch mit $\begin{eqnarray*} 1000 \cdot n \end{eqnarray*}$ abschätzen, die konstante spielt eh keine Rolle.
Ich versuche immer nur soviel zu verändern, dass es gerade aufgeht Freude

Freude

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