Stetigkeit

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HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit
Mich würde gerne interessieren wie ich denn bei Linearen Abbildungen die Stetigkeit zeigen kann. Das ganze scheint ganz schön anders zu sein als bei Funktionen, deshalb wäre ein Rat ratsam.

Es geht um die im Anhang beinhaltenden Aufgaben.

Und was genau soll ich untersuchen? Es handelt sich ja um Abbildung vom X -> Y. Ist Y also irrelevant und ich muss nur X untersuchen? verwirrt
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Aus irgendeinem Grund kann ich nicht editieren. Ich habe weiterhin folgende Definition zur Stetigkeit bzgl. Abbildungen gefunden:



Jetzt sollte ich das sicher irgendwie zeigen können?
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Der Editier Button will einfachnicht funktionieren (Auch nach den 15 Minuten nicht).

Deshalb muss ich nochmal hinzufügen, dass ich die Abbildungssschreibweise falsch verstanden habe. Letztendlich soll ich

1. xi

2. A*vector(x)

3. detA

auf Stetigkeit überprüfen.

das dritte sollte Stetig sein, dadie Determinante ja aus Produkten und Summen der Matrixkomponente besteht und f*g bzw f+g ja stetig ist. So richtig bzgl 3. ?
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann leider Gottes nicht editieren (Meldung: 15 Min nach bearbeitung erst möglich.)

Ich wollte noch hinzufügen, dass ein vektor stetig ist, wenn seine Komponenten stetig sind. Und die Kompensation zweier stetiger Funktionen ergibt wieder eine stetige Abbildung. Deshalb nun meine Ideen zusammengefasst.

1) Ich weiss nicht was pi(x)=xi sein soll. Weiss jemand was pi sein soll? Ein Skalar? Und was soll xi darstellen? Auch nur ein Skalar?
2) Die Kompensation stetiger Funktionen ergibt wieder eine stetige Abbildung. Da der Vektor x € der Reellen Zahlen^m stetig ist, kommt es nund rauf an ob die Matrix A ebenfalls stetig ist (dazu habe ich nichts gefunden). Sollte die Matrix stetig sein ist diese Abbildung stetig.
3) Die Determinante einer Matrix besteht aus Summen und Produkten (Polynome). Deshalb sollte diese Abbildung ebenfalls stetig sein. Weiss aber nicht ob die Begründung aussreicht.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

1) mit der Vorschrift für
bildet einfach nur den Vektor auf seine -te Komponente ab.
Du kannst jetzt einfach das Kriterium der Stetigkeit auf anwenden.

2) Wähle doch mal eine Basis des und forme mal ein bisschen um, indem du die Basiseigenschaft nutzt.
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr bijektion!

Kurz zu 2. da ich bei 1 noch etwas überlegen muss. Ich komme auf (Siehe Anhang). Und das sieht sehr nach Stetigkeit aus da die Komponenten Polynomfunktionen sind, und diese bekanntlich stetig sind ?

Edit (Hat ja dieses Mal endlich funktioniert^^): Noch zu 2. Den Beweis kann ich über delta epsilon kriterium machen (Wieso Polynome stetig sind) und mithilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung den Beweis ausführen. Und da die Komponenten Polynome sind und somit stetig sind ist auch die vollständige Funktion stetig.
 
 
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich wieder nicht editieren kann noch etwas zu 1. Da hier die ite Komponente x herrauskommt muss diese auch stetig sein, da sich xi um eine polynomfunktion handelt und der beweis das polynomfunktionen stetig sind ist mir bekannt.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

2) Dann mach das dochmal.
1) Hier kannst du auch das Folgenkriterium oder eben - nutzen.
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

So, 2 und 3 sind definitiv stetig und bei 1 würde ich sagen auch, da es sich ja auch um eine Polynomfunktion handelt (Konstante Funktion). Den Beweis der stetigkeit einer Polynomfunktion habe ich über Epsilon-Delta Kriterium geliefert und mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung abgeschätzt. Das habe ich nur für eine lineare affine Funktion gemacht). Und da bekanntlich die Komposition von stetigen Abbildungen (Hier f(x)=ax+b) stetig ist ergibt sich hierdraus die Polynomfunktion n-ten Grades.

Den ausführlichen Beweis schreibe ich heute Abend auf, da ich jetzt los muss.

Kurz noch zu 1,2,3.

1) Konstante Funktion
2) Matrixmultiplikation, wobei komponente stetig sind (Polynomfunktionen)
3) Determinante ist nach Leibniz aus der zusammensetzung von Summen und Produkte (Komposition von FUnktionen) definiert -> Polynomfunktion.

Ist das so richtig ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss ehrlich sagen, dass ich diese Formulierungen nicht wirklich schön finde, aber das ist vermutlich Geschmackssache.
Warten wir mal ab wie dein ausführlicher Beweis aussieht.
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