Regression einer Kurve 2. Ordnung

12.05.2014, 15:19	dertheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Regression einer Kurve 2. Ordnung Hallo zusammen, ich versuche mich zur Zeit an der allgemeinen Regression einer Parabel in einer xy-Ebene die aus einem Bild bestimmt wird. Da die Parabel beliebig gedreht sein kann und ich die Drehung aus den xy-Koordinaten ableiten möchte, gehe ich auf die allgemeine Gleichung für Kurven 2. Ordnung: $\begin{eqnarray} f(x,y)=f+2d x+2e y + a x^2 +c y^2 + 2by = 0 \end{eqnarray}$ Der Ansatz für die Mininmierung der Fehlerquadrate führt dann auf das Normalgleichungssystem: $\begin{eqnarray} G^T G \vec{a} = G^T \vec{f} \end{eqnarray}$ Dabei sind die a`s die Schätzkoeffizienten und die f's beschreiben den Funktionszusammenhang, dabei ist f aber der 0 Verktor, da ja nach der Formel oben diese Kurve durch = 0 definiert ist. Und das bringt mich jetzt aus dem Konzept, da durch den 0 Verktor ein überbestimmtes Gleichungssystem sich ergeben müsste. So interpretiere ich in der Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn ich bei der letzten Zeile ein $\begin{eqnarray} 2 \phi_1 b =0 \end{eqnarray}$ erhalte. Allerdings gilt für eine Parabel, dass die Kurve 2. Ordnung eine verschwindende Invariante $\begin{eqnarray} \delta=\begin{vmatrix} a & b \\ b & c \end{vmatrix} =0 \end{eqnarray}$ aufweist. Daher ist meine Interpretation, dass b eben nicht frei wählbar ist, sondern nur eines die Forderung $\begin{eqnarray} ac=b^2 \end{eqnarray}$ erfüllt. Aber bisher komme ich da nicht an, kann mir jemand auf die Sprünge helfen? VG
12.05.2014, 16:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine Variable "zuviel": Teile deinen Ansatz $\begin{eqnarray} f(x,y)=f+2d x+2e y + a x^2 +c y^2 + 2bxy = 0 \end{eqnarray}$ durch irgendeine Konstante ungleich Null, und du hast inhaltlich dieselbe Kurve zweiter Ordnung und damit auch dasselbe Optimierungsproblem. Du musst es auf irgendeine Art normieren, etwa wenn du von einem der Koeffizienten sicher weißt, dass er ungleich Null ist. Wenn z.B. $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ ist, dann setze einfach $\begin{eqnarray} a:=1 \end{eqnarray}$ und zieh die Regression damit durch. EDIT: x ergänzt beim letzten Term 2bxy, infolge der Anmerkungen von Ehos und dertheoretiker.
13.05.2014, 07:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@DerTheoretiker Die allgemeinste Gleichung einer Kurve 2.Ordung in der xy-Ebene, lautet: $\begin{eqnarray} 1=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \cdot\underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & b_{2} \end{pmatrix}}_{\text{konstante Matrix}} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 2\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}}_{\text{konstanter Vektor}}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ O.B.d.A. ist die Matrix symmetrisch, also $\begin{eqnarray} a_{12}=a_{21} \end{eqnarray}$ . Geometrisch sind z.B. folgende Fälle möglich: Parabel, Hyperbel, Ellipse usw. Diese Kurven können beliebig "verdreht" sein und der Symmetriepunkt kann "irgendwo" liegen (also nicht notwendig im Ursprung). Für diejenige Gleichung, welche du vorgeschlagen hast, wäre speziell $\begin{eqnarray} a_{11}=a/f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{22}=c/f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{12}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{21}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{1}=d/f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{2}=b/f+e/f \end{eqnarray}$ Die von dir vorgeschlagene Gleichung ist aber NICHT der allgemeinste Fall, weil bei dir die Nichtdiagonalelemente der Matrix verschwinden. Geometrisch bedeutet dieses Verschwinden, dass du nur Kurven suchst, die NICHT verdreht sind, wodurch du deine Suche unnötig einschränkst. Wie du richtig schreibst, verschwindet für eine Parabel die Koeffizientendeterminante , also $\begin{eqnarray} a_{11}a_{22}-a_{21}a_{21}=0 \end{eqnarray}$ .
13.05.2014, 10:44	dertheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
@ehos: Du hast natürlich recht, ohne den gemischten Term ist das natürlich nicht die allgemeine Gleichung, mir ist da offenbar das x durchgerutscht, eigentlich sollte da stehen: $\begin{eqnarray} f(x,y)=f+2d x+2e y + a x^2 +c y^2 + 2b \cdot x \cdot y = 0 \end{eqnarray}$ Damit müsste diese Gleichung (mit der ich auch so ursprüngich gerechnet habe) auch Deiner Matritzenform entsprechen.

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