Ableitungen-Polynome, Abbildungsmatrix

13.05.2014, 01:21

akamanston

Ableitungen-Polynome, Abbildungsmatrix

Hallo alle,
hoff bei euch ist alles klar.
ich muss euch wieder ärgern.

sei $\begin{eqnarray*} R\left[x\right] \end{eqnarray*}$ der vektorraum aller polynome mit reellen koeffizienten, $\begin{eqnarray*} W\subset R\left[x\right] \end{eqnarray*}$ der untervektorraum der polynome von grad $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:W\Rightarrow W \end{eqnarray*}$ die lin. abbildung $\begin{eqnarray*} p(x)\Rightarrow p(x+1) -p(x) \end{eqnarray*}$
nun soll ich abbildungsmatrix bezüglich der basis 1, x, x^2, x^3 element W. bestimmen.
meine zamgewurschtelte lösung wäre erstmal

$\begin{eqnarray*} 1\Rightarrow x -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \Rightarrow x^{2} -x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}\Rightarrow x^{3} -x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}\Rightarrow x^{4}-x^{3} \end{eqnarray*}$

ich check nur net was genau mit den bezeichnungen von p gemeint ist
$\begin{eqnarray*} p(x+1) und p(x) \end{eqnarray*}$

meint $\begin{eqnarray*} p(x+1) \end{eqnarray*}$ etwa p^(x+1) ???

wie check ich das ganze auf injektivität surjektivität oder bijektivität, das erkenne ich an der matrix oder?

gute nacht=) Wink

13.05.2014, 08:36

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ableitungen-polynome,matrix , bumbalaaufgabe

Zitat:

Original von akamanston
meine zamgewurschtelte lösung wäre erstmal

$\begin{eqnarray*} 1\Rightarrow x -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \Rightarrow x^{2} -x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}\Rightarrow x^{3} -x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}\Rightarrow x^{4}-x^{3} \end{eqnarray*}$

In der Tat ist das gewurschtelt. Wie bist du denn darauf gekommen? Es sollte dir auch auffallen, daß du bei x³ auf ein Polynom abbildest, das gar kein Element von W ist.

Zitat:

Original von akamanston
ich check nur net was genau mit den bezeichnungen von p gemeint ist
$\begin{eqnarray*} p(x+1) und p(x) \end{eqnarray*}$

Das erklärt auch obiges Gewurschtel. p(x) ist ein Polynom vom Grad <= 3 und p(x+1) ist die Hintereinanderausführung von 2 Abbildungen: x --> x+1 --> p(x+1). Dabei wird in dem Polynom p(z) jedes z durch (x+1) ersetzt.
Das solltest du schon mal gesehen haben, beispielsweise bei sin(x+1). smile

14.05.2014, 00:43

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ableitungen-polynome,matrix , bumbalaaufgabe

Zitat:

Original von klarsoweitEs sollte dir auch auffallen, daß du bei x³ auf ein Polynom abbildest, das gar kein Element von W ist.

NoWay, net mal das fällt mir auf nachdem du darauf hingewiesen hast. (damit du mal weißt auf welchem niveau du mit mir sprechen musst Augenzwinkern

) oder meinst du, dass auf der rechten seiten, worauf abgebildet wird, kein x^4 stehen darf, weil grad <=3 ist?

Zitat:

Original von klarsoweit p(x) ist ein Polynom vom Grad <= 3 und p(x+1) ist die Hintereinanderausführung von 2 Abbildungen: x --> x+1 --> p(x+1). Dabei wird in dem Polynom p(z) jedes z durch (x+1) ersetzt.

das check ich nicht. 0,0. ich kommt mit der bezeichnung nicht klar. ich habe immern noch das f(x) im kopf, f von x. woher weißt du überhaupt, dass nicht vielleicht doch p von x+1 oder so gemeint ist Engel

Zitat:

Original von klarsoweit x --> x+1 --> p(x+1)

ist das vlt so ne art vorschrift wie man in dem fall ableitet? nicht wie üblich x --> 1 sondern diesmal halt x--> x+1^^

ich hab echt ka. die negativen summanden müsssen aber stimmen, weil ich das von einem ähnlichen beispiel übernommen habe Big Laugh

edit:

ok, ich habs jetzt nochmal überlegt.

wie wärs damit. das hat ja gar nichts mit ableitungen zu tun

$\begin{eqnarray*} 1\Rightarrow x+1 -1=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \Rightarrow x+1 -x=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}\Rightarrow x+1 -x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}\Rightarrow x+1-x^{3} \end{eqnarray*}$

14.05.2014, 09:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ableitungen-polynome,matrix , bumbalaaufgabe

Zitat:

Original von akamanston

Zitat:

Bevor es mit der Aufgabe weitergeht, müssen wir jetzt ganz viel das Arbeiten mit Funktionen und Funktionsvorschriften üben.
In der Tat ist mit "p(x+1)" der Ausdruck "p von (x+1)" gemeint. Das heißt, jedes in der Funktionsvorschrift vorkommende x wird durch (x+1) ersetzt. Das übst du jetzt mal mit p(x)=x². Was ist in diesem Fall p(x+1) ?

Zitat:

Original von akamanston
$\begin{eqnarray*} 1\Rightarrow x+1 -1=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \Rightarrow x+1 -x=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}\Rightarrow x+1 -x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}\Rightarrow x+1-x^{3} \end{eqnarray*}$

Nur 1 von diesen 4 ist richtig. Welches werden wir später sehen.

14.05.2014, 09:24

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

dann würde ichsagen
(x+1)^2
kommt bei der ersten dann 0 heraus?

14.05.2014, 15:10

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von akamanston
dann würde ichsagen
(x+1)^2

Richtig.

Zitat:

Original von akamanston
kommt bei der ersten dann 0 heraus?

Tendenziell ja. Am besten schreibst du nochmal alle Ergebnisse hin.

14.05.2014, 17:47

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

also

$\begin{eqnarray*} 1\Rightarrow 1 -1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \Rightarrow x+1 -x=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}\Rightarrow (x+1)^{2} -x^{2}=2x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}\Rightarrow (x+1)^{3}-x^{3}=3x^{2}+3x+1 \end{eqnarray*}$

die zugehörige abbildungsmatrix müsste dann wie folgt aussehen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\0&0&2&3\\0&0&0&3\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
hoffe du kannst das absegnen^^

ich soll jetzt überprüfen ob f injektiv surjektiv oder bijektiv ist.

- matrix ist quadratisch, also könnte sie bijektiv sein.
ich muss mir jetzt nur anschauen ob der zeilen rang, oder spalten rang voll ist, oder? so stehts in wiki.
der rang ist jeweils, 3. heißt das nun, dass sie nicht in- sur- bijektiv ist?

15.05.2014, 09:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Neue Frage »

Antworten »

Ableitungen-Polynome, Abbildungsmatrix

Verwandte Themen