korrigierte Stichprobenvarianz kein UMVU Schätzer

13.05.2014, 11:59	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
korrigierte Stichprobenvarianz kein UMVU Schätzer Meine Frage: Hallo Leute, ich soll zeigen, dass bei den unabhängig und normalverteilten Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_1,..,X_n \sim \mathcal N (\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ die korrigierte Stichprobenvarianz kein UMVU Schätzer für die Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ ist. Dabei sei $\begin{eqnarray} \mu \in \mathbb R \end{eqnarray}$ bekannt und $\begin{eqnarray} \sigma^2 > 0 \end{eqnarray}$ unbekannt. Meine Ideen: Für einen UMVU Schätzer $\begin{eqnarray} T(X) \end{eqnarray}$ muss ja gelten: $\begin{eqnarray} Var T(X) \leq Var(S(X)) \end{eqnarray}$ , wobei das $\begin{eqnarray} S(X) \end{eqnarray}$ und das $\begin{eqnarray} T(X) \end{eqnarray}$ beide unverzerrt sein müssen. Ich wollte jetzt einen 2ten Schätzer nehmen, und die zeigen, dass die Unlgichung nicht gilt, aber ich kenne nur den Schätzer: $\begin{eqnarray} S(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2 \end{eqnarray}$ dieser ist aber nicht erwartungstreu, also verzerrt. Habt ihr mir einen Tipp? Danke für die Hilfe
13.05.2014, 14:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Üblicherweise kennt man zwei erwartungstreue Schätzer für $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ : a) $\begin{eqnarray} S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 \end{eqnarray}$ , ich nehme an, dass das mit "korrigierter Stichprobenvarianz" gemeint ist. b) $\begin{eqnarray} S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 \end{eqnarray}$ , natürlich nur anwendbar bei bekanntem $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ .

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