Linear unabhängige Vektoren zu gegebenen Vektoren finden

13.05.2014, 12:00	Jakob1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Linear unabhängige Vektoren zu gegebenen Vektoren finden Meine Frage: Wir müssen zu gegebenen Vektoren linear unabhängige Vektoren dazu finden. Es sind z.B. 3 linear unabhängige Vektoren gegeben und wir müssen noch 2 dazu finden. Meine Ideen: Unser Ansatz war, dass wir mit Hilfe des Gramm-Schmidt Algorithmus die 2 unabhängigen Vektoren finden. Dazu würden wir die ersten drei Vektoren orthonormalisieren und wir waren der Meinung, dass man anschließend beliebige Vektoren einsetzen kann und man bekommt immer linear unabhängige Vektoren heraus. Leider funktioniert dies nicht, da ein linear abhängiger Vektor zum Nullvektor wird, dies ist auch verständlich, da durch die Subtraktion des dot-products alle abhängigen Anteile subtrahiert werden. Ist Gramm-Schmidt für diese Aufgabe sinnvoll oder gibt es eine Andere (bessere) Variante.
13.05.2014, 12:26	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr kennt sicher den Satz, dass man aus einem Erzeugendensystem ein linear unabhängiges Tupel aussortieren kann, oder? Erweitert doch euer Tupel um die Standardbasis und nehmt dann den Gauss-Algorithmus, um die linear unabhängigen Vektoren zu filtern PS. Noch zwei linear unabhängige Vektoren zu finden, funktioniert nur in einem mindestens fünfdimensionalen Vektorraum, ansonsten könnt ihr gleich hinschreiben, dass das nicht lösbar ist Lg kgV
13.05.2014, 12:32	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linear unabhängige Vektoren zu gegebenen Vektoren finden Gram-Schmidt ist nicht dazu geeignet, da du durch den Algo aus einer gegebenen Menge linear unabhängiger nur eine Menge orthogonaler Vektoren berechnen kannst. Die sich ergebenden Vektoren spannen dann denselben (Unter-)Raum auf wie die gegebenen. Du willst aber Vektoren finden, die außerhalb des Unterraums liegen, der durch die gegebenen 3 Vektoren aufgespannt wird.
13.05.2014, 12:36	Jakob1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kann sein, dass ich mich zu ungenau ausgedrückt habe. Unser prinzipielles Problem besteht darin, dass wir eine Matrix regulär auf einen bestimmten Rang ergänzen müssen. Wir haben z.B 3 linear unabhängige Zeilen gegeben und müssen eine quadratische Matrix mit Rang 5 erweitern. Die gegebenen Vektoren dürfen dabei nicht verändert werden. Leider verstehe ich nicht, wie ich den Gaus-Algorithmus anwenden kann um die linear unabhängigen Vektoren zu finden... lg Jakob1990
13.05.2014, 12:44	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, in diesem Fall schreibt ihr die gegebenen Vektoren als Spalten in eine Matrix und hängt dann rechts die Einheitsmatrix dran. Das bringt ihr auf Zeilenstufenform. Die Spalten, in denen am Ende die ersten Einser jeder Zeile stehen (die Pivots, wenn ihr den Begriff kennt) markiert ihr euch. Die Spalten mit demselben Index in der Ausgangsmatrix sind dann ebenfalls linear unabhängig (wie ihr sicher wisst, ändern elementare Zeilenumformungen nichts an Unabhängigkeit etc.)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »